等积式化成比例式的口诀,初中数学:比例式和等积式的证明方法与技巧
在证明比例式或等积式时,很自然想到需要应用相似三角形,证明此类题目,我们可以依照以下思路:
(1)看是否有可以直接利用的三角形,若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中,可尝试证这两个三角形相似;
(2)如无,则需构造平行线或相似三角形;
(3)若不在两个三角形中,可先将它们转化到两个关系紧密(通常有角相等或线段成比例)的三角形中,再证这两个三角形相似;若在两个明显不相似的三角形中,可运用中间比代换。
一、有可以直接利用的三角形
例1、如图,在正方形ABCD中,E为AB边上一点,连接DE,交AC于H点,过点D作DF⊥DE,交BC的延长线于F,连接EF交于AC于点G.
(1)请写出AE和CF的数量关系: ;
(2)若正方形ABCD的边长为4,且AE=1,求证:EG2=GH•AG.
二、无直接可利用的三角形时,构造平行线或相似三角形
1、构造平行线
2、等积过渡法
例3、如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,点F在边AC上,DF与BE相交于点G,且∠EDF=∠ABE.
求证:(1)△DEF∽△BDE;
(2)DG·DF=DB·EF.
3、两次相似法(不同于等比过渡法)
4、等线段代换法
例5、如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,点P是AD上一点,CF∥AB,延长BP交AC于点E,交CF于点F
求证:BP2=PE·PF.
说明:对于这种平方等于乘积的形式,一般要围绕等式后项中两条不同的线段所在三角形构造相似三角形;而平方项中的线段一般可以在构造的相似三角形中找到等量相等。
例6、如图,△ABC中,AD是中线,且CD2=BE•BA.求证:ED•AB=AD•BD.
三、题目中线段先乘积后加减
看到题目中线段先乘积后加减,说明有线段要截取。
例7、证明:在 BD 取一点 E,使∠BCE=∠ACD,即得△BEC∽△ADC,
可得: AD•BC=BE•AC,①
又∵∠ACB=∠DCE,可得△ABC∽△DEC,
即得AB•CD=DE•AC,②
由①+②可得:AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)=AC•BD
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