数字华容道规律，数字华容道的奥秘

我的抽象代数系列课程先从一个智力游戏说起，可能有的人玩过这个游戏，这是节数学科普课，默认读者没有学过群论，这个游戏中包含的置换的思想也就是群论的雏形，人们在研究了置换之后于是发明了群这个结构。这个游戏就是数字华容道，有一个正方形的外框，里面有十五个小正方形滑块，下图中#井号表示的是空。由于有了这个空，滑块就可以滑动，游戏的目标是让打乱的数字通过滑块移动最终按顺序排列起来。很多人小时候玩过滑块拼图游戏，原理跟这个是一样的，有人通过摸索会掌握这个游戏的窍门，现在我从数学上来探究这个数字华容道，当你掌握了数学原理，你甚至可以自己创造让某个滑块从A点移动到B点而其他保持不变的公式。

可以看到，如果按图表所示，让3和1交换，15和2交换...，这样能够复原数字华容道，可是按照规则，滑块只能滑动，把这个规则抽象出来就是，只能#和相邻的数字交换，每一个步骤必定是有#参与。其实图表所示的就是一个置换。我们中学就学过函数，置换可以看作特殊的函数，定义域的元素和值域元素相同，而且都是有限的。

3和1交换用置换的写法就是（1 3），只有两个元素位置改变称作对换。玩游戏的时候每一步相当于井号和相邻的数字交换，如（# a1），（# a2），完成两步相当于两个对换相乘，置换乘法的定义本质是函数的复合。

例如第一步（# a1），第二步（# a2），两步之后的结果，就是（# a2）（# a1），假如将（# a1）看作f(x)，（# a2）看作g(x),（# a2）（# a1）的意思就是g[f(x)]，也就是函数的合成。考虑（# a2）（# a1）中元素的变化，#在第一步变成a1，在第二步没有变；a1在第一步中变成#，第二步中由#变成a2；a2在第一步中没变，在第二步中变成#。所以

（# a2）（# a1）=（# a1 a2），这是一个三阶循环置换。所以上面的置换不能写成（3 1）（15 2）（4 3）（12 4）（10 5）（11 6）（1 7）（2 8）（8 9）（5 10）（13 11）（9 12）（6 13）（7 14）（14 15），那上表的置换应该怎么表示呢？

置换的完全分解是指将置换分解为不相交的循环置换，并且含有每个1-循环置换。这个置换完全分解就是（1 7 14 15 2 9 12 4 3）（5 10）（6 13 11）（8）（#）

要赢得这个游戏，就是要找到（# a(n)）（# a(n-1)）...（# a2）（# a1）这样的序列，使得（# a(n)）（# a(n-1)）...（# a2）（# a1）=（1 7 14 15 2 9 12 4 3）（5 10）（6 13 11）（8）（#）

在置换理论里有个定理，是说若一个置换能够表示成偶数个对换的乘积，那么它只能被表示成偶数个对换的乘积；若一个置换能够表示成奇数个对换的乘积，那么它只能被表示成奇数个对换的乘积。这个定理的证明此文就不涉及了，因为需要很多定义和定理的铺垫。后面讲抽象代数课程时会循序渐进地把重要的定理依次证明。这个游戏的起始状态和复原的状态相比#位置没有发生变化，游戏的每一步#都在和相邻数字交换，可以肯定的是只有经过偶数步#才能位置不变，假如向上有N步，一定向下也会有N，才能保证#位置不变，向下向左向右同理。（1 7 14 15 2 9 12 4 3）（5 10）（6 13 11）（8）（#）这个置换，符号=（-1）^(16-5)=-1是一个奇置换，所以这个图示的这种初始状态，要复原是不可能，别再傻傻的移动滑块了，纵使尝试亿万次还是不可能成功。这就是数学的力量，它能让你真正地玩透这个游戏。