求导公式

积化和差公式

公式

sinαsinβ=-[1][cos（α+β）-cos（α-β）]/2【注意等式右边前端的负号】

cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2

sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2

cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2

这里用到了sin（-α）=-sinα 即sin（α-β）= - sin（β-α）

证明：

法1

积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。

即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：

sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]

=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ）-(cosαcosβ+sinαsinβ）]

=-1/2[cos（α+β）-cos（α-β）]

其他的3个式子也是相同的证明方法。

（该证明法逆向推导可用于和差化积的计算，参见和差化积）

法2

根据欧拉公式，e^ix=cosx+isinx

令x=a+b

得e ^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）

所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa

记忆方法

积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了特点各自的简单记忆方法。

这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该 是[-2,2]，而积的值域却是[-1,1]，因此除以2是必须的。

也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2

如：

cos（α-β）-cos（α+β）

=(cosαcosβ+sinαsinβ）-(cosαcosβ-sinαsinβ）

=2sinαsinβ

故最后需要除以2。

向量公式

向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量积运算律

a×b=-b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

（a+b）×c=a×c+b×c.

注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0

AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”

a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；

当λ＜0时，λa与a反方向；

当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；

当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。