射影定理怎么巧妙记,借助射影定理,更能事半功倍

极简大道 极简大道 2022-06-02 超级记忆术 阅读: 178
摘要: 借助射影定理,更能事半功倍

借助射影定理,更能事半功倍

借助射影定理,更能事半功倍


我们在学习相似三角形时,对于直角三角形中,存在一条斜边上的高,通常情况下会有三对相似的直角三角形,而它们之间的特殊比例关系,被归纳为一条十分有用的定理——射影定理。因此,一旦题目图形中出现直角三角形及其斜边上的高,那么射影定理基本上会给解题过程带来极大方便。

题目

如图,在△ABC中,已知∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AC=6√3,BD=3.

(1)求cosA的值;

(2)求tanB的值.

借助射影定理,更能事半功倍


解析:

直角三角形,斜边上的高,请迅速联想到射影定理相关内容,牢记两句话,直角边的平方等于它的射影乘以斜边;斜边上高的平方等于两直角边射影的乘积.题目条件中,我们知道AC和BD,它们分别是一条直角边和另一条直角边的射影,似乎无法直接使用射影定理。但是,定理结论中AC²=AD×AB或者CD²=AD×BD是可以派上用场的,但无论用哪一个,都需要设AD=x,下面分别就两个等式给出对应解答:

AC²=AD×AB,于是108=x(x+3),整理为x²+3x-108=0,解得两根分别为9和-12,显然AD=9,于是cosA=√3/2,tanB=√3;

CD²=AD×BD,于是CD²=3x,在Rt△ACD中利用勾股定理列方程,同样可得108=x²+3x,解得两根为9和-12,后续过程同上.

解题反思:

本题属于较为简单的三角函数的应用,本题难点仅存在于构造出方程来求解AD的长,而射影定理的使用则使整个过程显得更简洁。因此,在解直角三角形类型的问题时,遇到直角三角形及其斜边上的高,多半便是射影定理大展身手的地方。

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