论变异逻辑学——研读形式逻辑学笔记（10）

1，所谓“变异逻辑”就是指通过修改经典逻辑的某个或某些假定或预设所得到的逻辑系统；与标准的逻辑系统（即一些命题逻辑和谓词逻辑的系统）相比，它们是一些可供选择的另类的逻辑系统（ alternative systems )。这些系统至少在某些定理上与经典逻辑不一致：经典逻辑的某些定理不再是它们的定理，它们的某些定理也不是经典逻辑的定理。例如，某些多值逻辑去掉了经典逻辑所预设的二值原则，允许语句取真、假之外的其他值，从而使得经典逻辑中的矛盾律和排中律不再成立；相干逻辑挑战了经典逻辑的实质蕴涵及其逻辑后承概念；直觉主义逻辑挑战了经典逻辑的实无穷假定、二值原则和逻辑观；自由逻辑挑战了经典逻辑的存在假定和二值原则。

2，所谓经典逻辑或标准逻辑（Classical Logic or Standard Logic）就是指在前面第八讲中谈到的命题演算（Proposition Calculus）和谓词演算（Predicate Calculus），它们共同构成所谓的“一阶逻辑”（First order logic），这种逻辑是所有其他逻辑的基础，在当代逻辑学科体系中取得了“经典”的地位，亦称“经典逻辑”。与后来出现的各种逻辑系统相比，经典逻辑至少含有下述假定或预设：

(1）外延原则，即它在处理语词、语句时，只考虑它们的外延，并认为语词的外延是它所指称的对象，语句的外延是它所具有的真值，如果在某一复合语句中用具有同样指称但有不同涵义的语词或语句去替换另一语词或子语句，该复合语句的真值保持不变。这就是著名的“外延论题”。与此相联系，一阶逻辑是建立在实质蕴涵（Substantial Implication）之上的逻辑。所谓实质蕴涵，就是把一条件句的真假看做其各个构成句的真值函项。具体来说，条件句“如果 p ，则 q ”为真，当且仅当并非 p 真而 q 假，这就是说，除开 p 真 q 假的情况下该条件句为假之外，在其他情况一一 P 真 q 真、 p 假 q 假、 p 假 q 真一一之下，它都是真的。

(2）二值原则，即任一命题或真或假，非真即假，非假即真；没有任何命题不具有真假值，也没有任何命题具有除真假之外的其他值。这就是说，在一阶逻辑中不存在真值空缺或真值间隙。顺便指出，二值原则是古典的矛盾律和排中律的结合，后两者一起刻画了传统的真概念。二值原则、矛盾律、排中律是所有二值逻辑系统所依据的元规则，而不仅仅是这些系统的一个内定理。例如，“ pV 乛p ”本身并不就是排中律，它仅仅是排中律在命题演算中的一个表现形式。排中律在其他二值逻辑中还有另外的表现形式，例如在谓词演算中是“( ∀ x )( FxV 乛Fx )”，在模态逻辑中是“□ pV 乛□ p ”。所以，我们不能把作为所有二值系统的元规则的二值原则、矛盾律、排中律与作为二值系统内定理的矛盾律、排中律相混淆，后面这些称呼纯粹是出于方便。塔斯基（ A . Tarski ）早已指出这一点：“从我们的定义（指形式化语言中的真定义一一引者）中可以推演出各种普遍性的定律。尤其可以借助于定义证明矛盾律和排中律一一它们完全足以表达亚里士多德真理概念的特征，即我们能够证明在两个互相矛盾的语句中有一个且仅有一个是真的。不要将这些语义学定律与那些与其相关的逻辑规律即矛盾律和排中律看作是同一的。后者属于语句演算，也就是逻辑的最基本部分，其中根本不包含‘真的’这个词项。”

(3）由假得全原则，指经典逻辑中这样的定理： A∧乛A → B ，意思是从逻辑矛盾推出任一命题。这个原则有时也被称为“扩展律”：不一致性可以扩展到一个理论中的每一个句子。通常，我们把一个句子集的逻辑封闭集（logical closure ）定义为从这个句子集逻辑地推出的所有句子的集合，并且称任何一个逻辑封闭的句子集为一个理论。因此，一个理论包含它的所有逻辑后承。如果一个理论不同时包含一个句子和该句子的否定，我们就说该理论是一致的；如果一个理论包含每一个句子，我们就说它是不足道的( trivial )。从由假得全原则可知：任何一个不一致的理论都是不足道的。

(4）采用实无穷抽象法，即把无穷当做已经完成的一个整体，而不只是一个潜在的无穷延伸的过程，于是在经典逻辑中就可以研究本质上是非构造性的对象。

(5）存在假定，即它的个体域非空，量词毫无例外地具有存在含义，并且单称词项总是指称个体域中的某个个体。如果语句和论证中出现了无所指的空词项，则人为地给它们指定外延：空集合。这是为了确保经典逻辑中的语句有且仅有一个真值：或者真或者假。

3，由此，我们就明白了这里所谓“变异逻辑”就是指通过修改经典逻辑的某个或某些假定或预设所得到的逻辑系统；与标准的逻辑系统（即一些命题逻辑和谓词逻辑的系统）相比，它们是一些可供选择的另类的逻辑系统（ alternative systems )的意思了。当然，诚如陈波指出，我们从不同的侧面考察，还可以概括出经典逻辑的一些不同的特征。而通过修改经典逻辑的某个或某些假定或预设（不同的特征）就可以得到的可供选择的另类的逻辑系统，或者说，我们可以构造出可供替代的不同性质的逻辑学来。这个英文字alternative的构词法aⅠternative＝alter（改变性质的）＋n＋ate（做，构造等），而—tive是个形容词词尾或后缀。于是，这个所谓的“另类逻辑学”的“另类”就是“不同种类的”意思，即变异逻辑学。如何变异呢？它是通过修改经典逻辑的某个或某些假定或预设（不同的特征）或引入不同逻辑算子（如不定、可能、必然和知道、时间、义务等）而得到的另外不同种类的逻辑系统，其基础仍然是经典逻辑学，并与之相对而言，我们称它为变异逻辑学。总之，它们都是逻辑学，不是其它。这层意思我们可从本节的多值逻辑、相干逻辑、直觉主义逻辑、次协调逻辑和下一节的模态逻辑等里面应不难体会到。至于，为什么要变异呢？简单说，为了更好适用逻辑学，同时应理解为理论逻辑学自身发展的必然结果。

4，这里应该注意的就是二值与多值、实质蕴含与严格蕴含、实无穷与潜无穷、去除存在假定、如何看待逻辑矛盾等等，这一系列重大的逻辑学基础理论（元理论）问题。例如，陈波这里在为次协调逻辑里为承认矛盾的辩护，和不同意该逻辑与矛盾共存思想的批判，因为单就形式逻辑学论这个逻辑学矛盾确实是应该消除的，否则它会毁掉一切科学理论（如扩展律）。这个消除矛盾思想体现为悖论研究里（后面我们会遇到）。

5，由此可见，这个Logos（无论形式或内容）的丰富多彩，各种内在关系的庞杂繁复，应该说，还是很有趣味的，似乎也是十分灵活多样的，但又是有规则可循的。这后一点有规则（形式规则），对于我们传统历史文化里很不习惯的Logos思维训练来说，无疑就显得更为重要了。

6，自然，我们也不应该只陷入形式变换或语句书写里不出来（例如怀疑论），而应该辩证地看待纯粹逻辑学的这一形式问题，即坚持辩证法是形式逻辑之母这一根本要点。例如康德批判哲学和黑格尔概念辩证法所带给我们的启示。当然，我们这里还只是局限于形式逻辑学研读形式问题，并使之纯粹形式化或抽象化，而严格区别于语言学、数学、心理学等等，只把它当作一门如其所是的科学来讨论，显然也是应然而没有任何问题的。

7，陈波这里的十五讲里也有这么一层形式化的纯粹抽象意思，但同时他又坚持古典逻辑学理想，力图使其有用，有日常实际效用，因而又追求该抽象形式不脱离日用的通俗化。他这个做得如何？只能由读者自行判断了。

8，实际上，我这里想说的只是这个Logos里问题是多多的，无论学术研究还是常识科普，这一点是确定不变的。因此，这一个Logos就意味着为我们的开放思维打开了一扇窗户，提供了一条可靠线索指引等。即，我们凡事都应问个为什么，不迷信，不盲从，不僵化等，永葆思维活力，当代语境下我们把这一条称之为抽象逻辑思维能力或自我批判反思能力。这一能力的自开启或自获得，最适宜的场所就是用于Logos自身（元逻辑学），或者说用于哲思。显然，这一点对于用作其他，或者说根本上用在破解人生之谜，无疑都是极为有助益的一件事情。

9，今天选录陈波《逻辑学十五讲（第九讲）》研读。

（张满天2022年5月20日呼和浩特市玉泉区石羊桥寓所草拟。今日重新审定后发头条）

【附录一】：

第九讲丨换一个角度来思考……一一变异逻辑：一些另类系统

什么是变异逻辑学

多值逻辑

相干逻辑

直觉主义逻辑

次协调逻辑

一、什么是变异逻辑

在前面第八讲中谈到了命题演算和谓词演算，它们共同构成所谓的“一阶逻辑”，这种逻辑是所有其他逻辑的基础，在当代逻辑学科体系中取得了“经典”的地位，亦称“经典逻辑”。与后来出现的各种逻辑系统相比，经典逻辑至少含有下述假定或预设：

(1）外延原则，即它在处理语词、语句时，只考虑它们的外延，并认为语词的外延是它所指称的对象，语句的外延是它所具有的真值，如果在某一复合语句中用具有同样指称但有不同涵义的语词或语句去替换另一语词或子语句，该复合语句的真值保持不变。这就是著名的“外延论题”。与此相联系，一阶逻辑是建立在实质蕴涵之上的逻辑。所谓实质蕴涵，就是把一条件句的真假看做其各个构成句的真值函项。具体来说，条件句“如果 p ，则 q ”为真，当且仅当并非 p 真而 q 假，这就是说，除开 p 真 q 假的情况下该条件句为假之外，在其他情况一一 P 真 q 真、 p 假 q 假、 p 假 q 真一一之下，它都是真的。

(2）二值原则，即任一命题或真或假，非真即假，非假即真；没有任何命题不具有真假值，也没有任何命题具有除真假之外的其他值。这就是说，在一阶逻辑中不存在真值空缺或真值间隙。顺便指出，二值原则是古典的矛盾律和排中律的结合，后两者一起刻画了传统的真概念。二值原则、矛盾律、排中律是所有二值逻辑系统所依据的元规则，而不仅仅是这些系统的一个内定理。例如，“ pV 乛p ”本身并不就是排中律，它仅仅是排中律在命题演算中的一个表现形式。排中律在其他二值逻辑中还有另外的表现形式，例如在谓词演算中是“( ∀ x )( FxV 乛Fx )”，在模态逻辑中是“□ pV 乛□ p ”。所以，我们不能把作为所有二值系统的元规则的二值原则、矛盾律、排中律与作为二值系统内定理的矛盾律、排中律相混淆，后面这些称呼纯粹是出于方便。塔斯基（ A . Tarski ）早已指出这一点：“从我们的定义（指形式化语言中的真定义一一引者）中可以推演出各种普遍性的定律。尤其可以借助于定义证明矛盾律和排中律一一它们完全足以表达亚里士多德真理概念的特征，即我们能够证明在两个互相矛盾的语句中有一个且仅有一个是真的。不要将这些语义学定律与那些与其相关的逻辑规律即矛盾律和排中律看作是同一的。后者属于语句演算，也就是逻辑的最基本部分，其中根本不包含‘真的’这个词项。”[1]

(3）由假得全原则，指经典逻辑中这样的定理： A∧乛A → B ，意思是从逻辑矛盾推出任一命题。这个原则有时也被称为“扩展律”：不一致性可以扩展到一个理论中的每一个句子。通常，我们把一个句子集的逻辑封闭集（logical closure ）定义为从这个句子集逻辑地推出的所有句子的集合，并且称任何一个逻辑封闭的句子集为一个理论。因此，一个理论包含它的所有逻辑后承。如果一个理论不同时包含一个句子和该句子的否定，我们就说该理论是一致的；如果一个理论包含每一个句子，我们就说它是不足道的( trivial )。从由假得全原则可知：任何一个不一致的理论都是不足道的。

(4）采用实无穷抽象法，即把无穷当做已经完成的一个整体，而不只是一个潜在的无穷延伸的过程，于是在经典逻辑中就可以研究本质上是非构造性的对象。

(5）存在假定，即它的个体域非空，量词毫无例外地具有存在含义，并且单称词项总是指称个体域中的某个个体。如果语句和论证中出现了无所指的空词项，则人为地给它们指定外延：空集合。这是为了确保经典逻辑中的语句有且仅有一个真值：或者真或者假。

从不同的侧面考察，还可以概括出经典逻辑的一些不同的特征。“变异逻辑”就是通过修改经典逻辑的某个或某些假定或预设所得到的逻辑系统；与标准的逻辑系统（即一些命题逻辑和谓词逻辑的系统）相比，它们是一些供选择的另类的逻辑系统（ alternative systems )。这些系统至少在某些定理上与经典逻辑不一致：经典逻辑的某些定理不再是它们的定理，它们的某些定理也不是经典逻辑的定理。例如，某些多值逻辑去掉了经典逻辑所预设的二值原则，允许语句取真、假之外的其他值，从而使得经典逻辑中的矛盾律和排中律不再成立；相干逻辑挑战了经典逻辑的实质蕴涵及其逻辑后承概念；直觉主义逻辑挑战了经典逻辑的实无穷假定、二值原则和逻辑观；自由逻辑挑战了经典逻辑的存在假定和二值原则。下面，我们简单地介绍这样一些逻辑系统，包括多值逻辑、相干逻辑、直觉主义逻辑、次协调逻辑。

二、多值逻辑

可以这样说，多值逻辑是由波兰逻辑学家乌卡谢维奇(Jan ukasiewicz,1878？-1956？)开创的。他在研究亚里士多德逻辑时，碰到了“明天将要发生海战”这样的涉及未来偶然性的句子。他认为，在说这句话的时候，它既不是真的也不是假的，只是可能的或不定的。在1920年发表的一篇论文中，他这样写道：

我可以无矛盾地推测，明年的某个时刻，例如12月21日中午，我将现身华沙，它目前既不能被肯定地确定，也不能被否定地确定。所以，我将在那个给定的时间现身华沙，是可能的，但不是必然的。按照这一假定，“明年12月21日中午我将现身华沙”目前既不能是真的，也不能是假的。因为如果它现在就是真的，我未来现身华沙就成了必然的，而这与那个推测相矛盾。另一方面，如果它现在是假的，我未来现身华沙就成了不可能的，这也与那个推测相矛盾。所以，所考虑的这个命题目前既不真也不假，必定具有不同于“0”或“假”和“1”或“真”的第三值。我们可以用“1/2”表示这个值。它代表“可能的”，作为第三个值与“真”、“假”并列。这就是导出三值命题逻辑系统的思想源头。[2]

于是，在乌卡谢维奇看来，一个命题可以取三个值： T （真）、 F （假）、 I （不定）。按照下述原则，他建立了三值逻辑系统：

(1）三个真值按照真性减小次序排列为 T 、I、F 。

(2）如果一个命题的值已知，则其否定式的值是该命题的值的“对立面”。

(3）合取式的值是它的各变项中真值最小的一个。

(4）析取式的值是它的各变项中真值最大的一个。

(5）“p→q”的值与“乛p V q ”的值接近但不相同：当 p 和 q 的值都为 I时，“p→q”为 T ，但“乛p V q”的值为 I 。这也许是为了确保“ p→p ”的值恒为T。

(6）“ p ↔ q ”的值与“( p → q ) ∧ ( q → p )”的值相同。

关于五个基本真值联结词 ¬、∧、∨、→、↔，我们有如下的真值表：

我们把乌卡谢维奇的三值逻辑记为 L3 ，把经典逻辑记为 CL 。 L3 有下列特点：

(1)乛( A∧B ) ↔ ( 乛A V 乛B ）和乛( A VB ) ↔ (乛A∧乛B ）这两个德摩根律仍然成立。这表明，其中∧可由乛和 V 定义， V 也可由乛和 ∧ 定义。

(2) A V B 并不等值于 乛A → B ，而等值于（ A → B ）→ B 。于是，由乛和→，就可以定义出另外三个联结词：

AVB = df ( A → B )→ B

A∧B =df乛(乛AV乛B )

A↔B = df( A → B ) ∧ ( B → A )

(3）若把重言式定义为永真式，则 L3 重言式必为 CL 重言式。这是显然的。设 A 为 L3 重言式，我们只需在 L3 关于 A 的真值表中删去中间值 I 的输人及相应的真值输出，就得到 CL 关于 A 的真值表。因为前者是重言式，后者必为重言式。

(4) CL 重言式在 L3 中不会为假，却可以取中间值 I 。所以， CL 重言式在 L3 中并不一般地成立。这是因为，不论其中变项代表什么命题，一个重言式都必须为真。特别地，二值逻辑的排中律 A V 乛A 在 L3 中不成立。若按语义表述，经典排中律意味着：任一命题要么真要么假，不存在第三种可能。它有如下推论：

推论1 A 和 乛A 两者中至少有一真。

推论2 A 为真当且仅当 乛A 为假。

在 L3 中，排中律及其推论1肯定不成立，因为当 A 取 I 值时，A V乛A也取 I 值。但推论2却可以成立，这从“ 乛p ”的真值表也可以看出。

(5) L3 中分别仅含联结词乛，∧ , V 的公式，当其所有变项都取值 I 时也必取 I 。这表明，这类公式不可能是矛盾式，也就是说，不论其中变项取什么值，该公式不可能恒取值为假。特别地，二值逻辑中的矛盾律 “乛（A ∧乛 A ）”在 L3 中不成立。经典矛盾律是指下列要求：应把“ A∧乛A ”作为逻辑矛盾加以排除；或者，应把“乛（A∧乛A）”作为逻辑真理加以接受。它有如下推论：

推论1 A和 乛A 两者必有一假。

推论2 A 和 乛A 不能同时为真。

推论3 有关某命题同时既采取某个真值又采取另一个不同真值的说法为假。

在 L3 中，经典矛盾律及其推论1和推论3不成立，但推论2却可以成立。这也可以从＂ 乛p ”的真值表中看出来。

沃依斯伯格（ Mordchaj Wajsberg ）在1931年的一篇论文中证明，乌卡谢维奇的三值逻辑 L3 。可以用如下方式公理化[3]:

公理：

A1 A → ( B → A )

A2 ( A → B ) → (( B → C )→( A → C ))

A3 (乛B → 乛A ) → ( A → B )

A4 (( A → 乛A ）→ A ）→ A

变形规则：

MP ：从 A 和 A → B 推出 B 出

既然命题可以取真、假之外的第三个值，为什么不能取第四个、第五个、甚至无穷多个值呢？乌卡谢维奇循此思路，把他的三值逻辑推广到三值以上，甚至是无穷多值的情况。现在约定：把一个公式写在两个斜杠之间表示这个公式的真值，例如，/ p ／表示 p 的真值；并且，这些真值用 0 和 1 之间的实数表示。乌卡谢维奇根据下述算术规则给出联结词的真值表：

/ 乛p /=1 - / p /

／p ∧ q / = max [/ p /，/ q /]

/ p V q / = min [/ p /，/ q /]

／p→q／＝1，当／p／≤／q／；1 -（／p／＋／q／），当／p／＞／q／

这就是说，乛p 等于 1 减去 p 的真值；p∧q 的真值取 p 和 q 的真值数目较大的那个； pVq 的真值取 p 和 q 的真值中数目较小的那个；如果 p 的真值小于等于 q 的真值，则 p → q 的真值等于 1；如果 P 的真值大于 q 的真值，则p → q的直值等于 1 减去 p 和 q 的真值之和。至于 p ↔ q 的真值，则根据定义（p ↔ q )= df ( p → q）∧ ( q → p ）间接得出。

乌卡谢维奇的无穷值逻辑可用如下方式公理化：

公理：

A1 A →( B → A )

A2 ( A → B )→(( B → C )→( A -→ C ))

A3 (( A → B )→ B )→(( B → A )→ A )

A4 ( 乛B → 乛A )→( A → B )

变形规则：

MP ：从 A 和 A → B 推出 B

三值逻辑和其他多于三值的逻辑系统，完全可以对真值联结词有不同于上面的 L3 的定义方式，于是就会出现不同于 L3 的其他三值逻辑系统，以及其他更多值的逻辑系统。这些系统出于不同的考虑，服务于不同的目的。例如，德国逻辑学家赖欣巴赫（ H. Reichenbach ）选取具有下表所示性质的完全否定～和蕴涵 → 作为基本联结词：

并且取下述唯一一条推理规则：

MP ：从 A 和 A → B 可推出 B

构成了三值系统R→。

如果把重言式重新定义为不取值 F 的公式，则 CL 重言式集不会有任何改变，因为在 CL 中一公式不取值 F ，它必取值 T 。但在 R→ 中，其重言式集却大大扩充，虽然 CL 重言式还是 R→ 重言式，但有些 R→ 重言式却可能不是 CL 重言式。

例如，在 R→ 中，考虑排中律的否定～( p V ~ p )，我们有

I ~( p V ~ p ) l = T，当丨p V～p丨＝ I 或 F；＝I，当丨p V ~ pl = T

即～( p V ~ p ）不取值 F ，故按新的重言式定义，此公式为重言式，但它显然不是 CL 重言式。有论者指出，“这一结论表明：多值逻辑不仅有与经典逻辑不同的解释，它还可以有经典二值逻辑不具备的推理作用。例如，对于 R→ ，由于它的公理可以取值 T 或 I ，它就可以保证，当作为推理前提的命题取中间值时，推理能够无矛盾地进行。这样， R→，就可以用来作量子力学的推理工具。” [4]

综上所述，多值逻辑是由抛弃经典逻辑的二值原则而创立的，它允许命题取真、假之外的其他值如“不定”等，甚至允许命题在［ 0 ,1 ] 区间内任取有穷多值甚至无穷多值。若其中命题可取值的数目为 n ，则称相应的逻辑为 n 值逻辑。显然，经典逻辑是 n = 2 的逻辑。到目前为止，多值逻辑已经在语言学、哲学、硬件设计、人工智能和数学中获得广泛而又重要的应用。

三、相干逻辑

构造相干逻辑的哲学动机来自对实质蕴涵和严格蕴涵的哲学批评。有的逻辑学家认为，下列公式作为推理规律是不可接受的；

(1) A → ( B → A )

(2) 乛 A → ( A → B )

(3) □A → ( B ⊰ A )

(4) 乛◇A → ( A ⊰ B)

其中（1）和（2）叫做“实质蕴涵怪论”，是经典逻辑中的重言式或者定理，其意思分别是，真命题被任何命题蕴涵；假命题蕴涵任何命题。例如，由于“2＋2=4”是真命题，因此，“如果雪是白的，则 2＋2＝4”和＂如果雪是黑的，则“2+2=4”也是真命题；由于“1＋1= 3”是假命题，因此，“如果1 + 1＝3，则太阳每天从西边升起”和“如果1＋1= 3，则太阳每天从东边升起”也是真命题。(3）和（4）叫做“严格蕴涵怪论”，却是某些模态逻辑系统中的定理，其意思分别是：必然命题被任何命题所严格蕴含；不可能命题严格蕴涵任何命题。如果把实质蕴涵与推出关系视为同一，实质蕴涵怪论表明：语句之间的推出关系仅仅根据语句的真值就能成立；如果把严格蕴涵与推理关系视为同一，严格蕴涵怪论表明：语句之间的推出关系仅仅根据相应语句的模态性质如必然性、可能性、不可能性等就能成立。

有些逻辑学家批评说，通常我们进行推理时，不仅要求前提和结论之间有真值上的联系，而且要求前提和结论之间有某种共同的意义或内容，正是这种共同的意义内容潜在地引导、控制着从前提到结论的思想流程，使得我们可以由前提想到或推出结论。除非一个人思维混乱或精神不正常，他通常不会从“2+2=4”推出“雪是白的”，也不会从“2十2=5”推出“雪是黑的”，因为这里前提和结论在内容、意义上完全不相干。有些逻辑学家试图去刻画推理的前提和结论之间的这种共同的意义内容。显然，各种不同推理的意义内容是千差万别的，逻辑学家不是百科全书，不可能什么都懂，他们头际上无法顾及这些差异悬殊的具体内容，最多只能去寻找、刻画这种内容相关性的形式表现。相干逻辑学家认为，命题之间的内容共同性是由变元共同出现来保证的，由此提出了著名的相干原理：如果 A 相干蕴涵 B，则 A 和 B 至少有一个共同的命题变元；或者说， A 与 B 相干之必要条件是，A 和 B 具有共同的命题变元。

相干性必然派生出独立性，即两个语句之间是否存在推理关系，与这两个语句单独所具有的任何性质如真、假以及模态如以必性、可能性、不可能性等等无关。这是因为，推理是两个（或两组）语句之间的一种关系，这种关系是否成立，不单单取决于这两个（或两组）语句独自具有的性质，而是取决于这两个（或两组）语句之间共有的某种意义内容或形式上的联系。因此，我们可以不知道 A 、 B 本身的真假，也可以不知道 A 、 B 本身的模态性质，却仍有可能知道 A 是否能推出 B 。这就是说， A 与 B 之间的推出关系独立于 A、B 单独所具有的任何逻辑性质。这种看法是符合我们的日常直观的，因为真语句之间可能具有推出关系，也可能没有；假语句之间可能具有推出关系，也可能没有；假语句（作为前提）与真语句（作为结论）之间可能具有推出关系，也可能没有；必然语句之间、可能语句之间、不可能语句之间以及它们相互之间可能具有推出关系，也可能没有。我们不能因为某个（某组）语句是不是真的、假的、必然的或可能的，就断定由它能否推出另外某个（或某组）语句。

1956年，阿克曼（ R , M . Ackermann ）构造了两个基于相干蕴涵的相干逻辑系统π＇ 和 ε ＇。

1959年，安德森（ A . R . Anderson ）和贝尔纳普提出了相干逻辑的 R 系统，它是由相干蕴涵（用“ A → B ”表示）和真值联结词构造而成的，其构造如下：

公理：

A1 A → A

A2 ( A → B )→(( B → C )→( A → C ))

A3 ( A →( A → B ))→( A → B )

A4 ( A →(( A → B )→ B )

A5 A∧B → A

A6 A∧B → B

A7 ( A → B ) ∧ ( A → C )→( A → B∧C )

A8 A → A V B

A9 B → A V B

A10 ( A → C )→(( B → C )→( AVB → C ))

A11 A∧ ( B V C )→( A∧B ) V C

A12 ( A → 乛A )→乛A

A13 （A→乛B）→( B → 乛A )

A14 A →乛乛 A

变形规则：

MP ：从 A 和 A → B 推出 B

∧＋：从 A 和 B 推出 A∧B

在 R 中，如上所述的相干原理成立，并且是 R 系统的根本特征。这就是说，如果 A → B 是 R 的定理，则 A 和 B 至少有一个共同的命题变元，或者说，在推导出 B 的过程中，真正使用了而不仅仅是经过了 A 。为了更清楚地说明相干原理，有必要提到 R 中一个元定理的推论：如果 A 是 R 的定理，则公式 A 中的每一个命题变元不可能只出现一次。根据这个推论，下述“实质蕴涵怪论”的相干蕴涵变形都不是 R 的定理：

A →( B → A )

A →( B → B )

( A → B )→( B → B )

( A → B )→( A → A )

乛A →( A → B )

A →( 乛A → B )

( A ↔ 乛A )→ B

B →( A V 乛A )

A V ( A → B )

由于 R 系统引入了相干蕴涵， A → B 当且仅当 A 与 B 存在着意义上的相互关联，因而在 R 系统中就排除了像“真语句被任一语句所蕴涵”等蕴含怪论，排除了“不相干谬误”。所谓不相干谬误，就是由一个语句推出另一个意义上毫不相关的语句，也就是说导出了违反 R 之相干原理的定理。R认为，“乛A，A V B l一 B （析取三段论）作为推演规则是不可接受的，因为一旦接受它为推演规则，在 R 中就会推出蕴涵怪论“( A ∧乛A ) → B ”（逻辑矛盾相干蕴涵任一语句），即在 R 中导致不相干谬误。

但是，相干蕴涵仍然是有缺陷的，它虽然试图反映语句之间意义、内容上的联系，却没有反映语句之间的必然联系。因而，相干逻辑系统 R 虽免除了不相干谬误，却无法避免模态谬误。如果一个必然语句由一些实然语句推演出来，则推演过程就犯了模态谬误。 R 有下列定理：

A →(( A → B )→ B )

( A →( B → C ))→( B →( A → C ))

A →(( A → A )→ A )

最后一个公式是说：如果 A 为实然真语句，则由一逻辑真理“ A → A ”得到的结论 A 是实然真的。但在一般模态逻辑中，常要求一必然语句的推论是必然真的， R 不能满足此要求。

安德森和贝尔纳普于1958年和1962年提出了另一个相干逻辑系统——衍推逻辑系统 E ，它是由修改阿克曼1956年提出的π＇ 得到的。将如上所述的 R 系统的公理 A3 换成如下公式：

( A →(( D → E )→ C ))→(( D → E )→( A → C ))

就得到系统 E 。在 E 中，一个重要的概念是衍推（entailment )，这里用“⇒”示。衍推是一个语句与另一个语句之间的二元关系，它是可演绎关系的逆。具体来说，衍推关系有如下两个特点：(1）衍推关系试图反映语句之间的必然关系。如果 A ⇒ B ，则这种衍推关系独立于语句 A 与语句 B 之实际情况，与语句 A 之假和语句 B 之真无关。在 E 中下述推演是可靠的：如果 A 真，则可安全地衍推 A ；假设 B 与 A 毫无关系，设 A 真，这并不表示 A 可由 B 导出，也不表示在任何蕴涵的意义上，B 蕴涵 A，或者 B 衍推 A 。如果 A ⇒ B ，则 A→B 必然为真。这是衍推逻辑的一个基本观点。(2）衍推关系试图反映语句之间在内容、意义上的相互关联。如果 A ⇒ B ，则 A 与 B 相干，也就是说， A 与 B 存在着共同的意义内容，或者说， A 与 B 具有共同的语句变元。因此，衍推关系试图结合严格蕴含与相干蕴含，既反映语句之间的必然联系，又反映语句之间在内容上的联系，也就是说反映语句之间在内容、意义上的必然联系，这种联系是独立于语句之真假与模态的。内尔森( E . J . Nelson ）指出：“蕴涵（即衍推）是意义之间的必然联系。”[5]

由于衍推既要求相干又要求必然，所以衍推系统 E 就是一个相干的严格蕴涵系统，这是 E 不同于 R 的主要之处，一方面，E 是相干逻辑，相干原理在 E 中成立、即是说，若 A ⇒ B 是 E 之定理，则 A 和 B 之间至少具有一个共同的语句变元。并且，与 R 一样，析取三段论（即 乛A , AVB l一 B ）不在 E 中成立。另一方面， E 是模态逻辑，若 A ⇒ B 是 E 的定理，则 A→B 必然为真；若从一辑规律可导出结论 C ，则 C 必然为真。在 E 中有这样一个基本定理：

( B ⇒ C ) ⇒ ((( B ⇒C ) ⇒A ) ⇒ (( A ⇒ A ) ⇒ A ))

A ⇒ A 是一逻辑真理。定理说，如果我们由一真语句（ B ⇒C ）可衍推 A ，则由 A ⇒ A 可衍推 A ；这就是说， A 必然为真，当且仅当， A 是一个逻辑真理的后承。因此，当在 E 中把 □ A 定义为（ A ⇒ A ) ⇒ A 时， E 就具有类似于模态逻辑系统 S4 的模态结构。 E 的定理可以分为两种类型：一类是不含模态词“ロ”（必然）、“◇”（可能）的，另一类含有模态词。可以证明， E 既免除了不相干谬误，又免除了模态谬误。

现在的问题是：如何评价相干逻辑？相干逻辑和衍推逻辑是否充分反映和刻画了它们声称要刻画的命题之间在内容或意义方面的相关性呢？本书把这样的问题留给有兴趣的读者。

四、直觉主义逻辑

直觉主义是一套关于数学基础的哲学理论，其主要代表人物是布劳维尔（L. E. J . Brouwer )。他创造性地继承了康德的先验直观理论，把对时间的先验直觉作为数学的基础。在他看来，数学是独立于经验的人类心灵的自由创造，它独立于逻辑和语言；先验的、原始的二·一性（ two - oneness ）直觉构成了数学的基础。这种初始直觉把每一个生活瞬间分解为质上不同的部分，仅当其余的一切被时间分隔开时才重新结合起来。这种直觉使人认识到作为知觉单位的“一”，然后通过不断的“并置”( juxtaposition )，创造了自然数、有穷序数和最小的无穷序数。任何逻辑结构都不可能独立于这种数学直觉。他还持有如下的基本观点：

(1）不承认实无穷，只承认潜无穷。所谓实无穷，是把无穷视为现实的、完成了的总体，例如由所有自然数所构成的集合（自然数集），一线段上所有点的集合（实数集）。所谓潜无穷，只是把无穷看做是一种无休止扩展或延伸的可能性或过程，而不是一种实际得到的总体，例如作为极限概念的无穷大和无穷小。由此，布劳维尔及其追随者把从潜无穷引申出来的自然数论作为其他数学理论的基础。

(2）排中律不普遍有效。在布劳维尔看来，这至少是出于两个原因：一是对于有穷论域来说，原则上可以通过逐个考察论域内的个体来验证它是否满足 A 或者非 A ，因此排中律有效；但对于无穷论域来说，这样的考察是不可能进行和完成的，故排中律无效。二是他对“真”、“假”等概念的特殊理解：一命题为真，是指能够找到一个在有穷步内结束的证明，后者证明它对真；一命题为假，是指能够在有穷步内证明它为假，即假设它为真在有穷步内将导致荒谬或矛盾。按这样的理解，排中律在数学中等于说：每一个数学命题或者是可被证明的，或者假设为真将导致矛盾（即可被否证）。但是，数学中不仅有未被证明为真或为假的命题，而且有不可证明的命题，因此排中律失效。

(3）存在等于被构造，数学对象的存在以可构造出该对象为前提。布劳维尔及其追随者不赞成使用反证法，即为了证明某个东西存在或某个命题成立，先假设它不存在或不成立，由此导致荒谬或矛盾，这就等于证明了它存在或成立。他们要求，要证明某个数学对象存在，只有两个办法，或者具体给出该数学对象，或者给出找到该数学对象的程序或算法；证明某个命题，要具体给出该命题如何成立的证明。因此，他们不赞成使用间接的存在证明，也不承认不能具体给出的纯存在定理。

布劳维尔及其追随者建构了体现其构造性观点的逻辑一直觉主义逻辑，其中逻辑联结词和量词的意义如下：

(1) A∧B 的证明 p 是一对证明 p1 和 P2，便得 p1 是 A 的证明， p2 是 B 的证明。

(2) A V B 的证明是一个构造，它选择 A 和 B 中的一个公式，并给出所选公式的证明。

(3) A → B 的证明 p 是一个构造，对于 A 的任何一个证明 q ，它都指出一个 B 的证明 p ( q ），并能验证 p ( q ）是 B 的一个证明。

(4) 乛A 的证明就是关于 A →(0=1）的证明，即可以由任意一个关于 A 的证明得到矛盾的构造。

(5)(ヨ x ) A ( x ）的证明是一个构造，它可从所讨论的论域中选出一个对象 a 并得到 A ( a＇ ）的一个证明，这里 a＇ 是 a 的一个名称。

(6)( ∀x ) A ( x ）的证明是一个构造，对于所讨论的论域中的任意对象 a ,有一个 A ( a＇ ）的证明 p ( a )，这里 a＇ 是 a 的一个名称。

这里，对于“ A → B ”的直觉主义理解，要求 A 与 B 之间有一个过程，当把这个过程与证明 A 的过程配合起来之后，可以证明 B 真。安德森和贝尔纳普在把“ A → B ”翻译到相干逻辑系统 R 和 E 中去时，引入了命题量词，把“ A → B ”定义为：

(ヨp)( p∧ ( A∧p → B ))

意思是说， A 直觉蕴涵 B ，当且仅当， A 与某些真命题一起相干蕴涵 B 。梅耶尔（ R . K . Meyer ）发展并简化了上述思想，他使用命题常项 t （真）代替命题量化，把“ A → B ”定义为“ A∧t → B ”( A 和真命题相干蕴涵 B )。

直觉主义逻辑的命题演算部分构造如下：

公理：

A1 A →( B → A )

A2 ( A →( B → C ))→(( A → B )→( A → C ))

A3 А∧В→ A

A4 A∧B → B

A5 A →( B → A∧B )

A6 A → A V B

A7 B → A V B

A8 ( A → C )→(( B → C )→( A V B → C ))

A9 ( A → B )→(( A → 乛B )→ 乛A )

A10 乛A→( A → B )

变形规则：

MP 从 A 和 A → B 推出 B

在直觉主义逻辑中，经典逻辑的下述定理不成立：

(1) A V 乛 A

(2) 乛乛 A → A

(3) (乛 A → 乛B )→( B → A )

(4) ( 乛A → B )→( 乛B → A ）

(5) ( 乛A → B )→(( 乛A → 乛B )→ A )

(6) 乛( A∧B )→( 乛A V 乛B )

这里，(1）是排中律；(5）是反证律：如果假设某个命题不成立，将导致荒谬或肩，这就证明此命题成立。由于直觉主义者不允许间接证明，因此不接受反证法。由于（2)、(3)、(4）与反证律有关，也不被接受。(6）是一个德摩根律的一半，因此该德摩根律不成立。

不过，在直觉主义逻辑中，经典逻辑的下述定理仍然成立：

(7) 乛 ( A∧乛A )

(8) A→乛乛A

(9) 乛乛乛A→乛A

(10) （A→B）→（乛B→乛A）

(11) ( A → 乛B )→( B → 乛A )

(12) 乛乛( AV 乛 A )

(13) 乛( A V B )↔( 乛A∧乛 B )

(14) ( 乛A V 乛B )→乛( A ∧ B )

这里，(7）是矛盾律，(12）是排中律的否定的否定。直觉主义者从构造性观点出发，认为排中律虽然没有被证明为真，但也没有被证明导致荒谬；它是一个不导致荒谬的命题。相反，谁要是说排中律荒谬，他便陷人荒谬。这就是布劳维尔（ L . E . J . Brouwer ）所说的“排中律荒谬的荒谬”。

由于直觉主义逻辑具有构造性特点，加上一些经典逻辑的规律如（1)—(5）在其中不成立，因此它是一种不同于经典逻辑的变异逻辑。但由于所有直觉主义逻辑的定理都是经典逻辑的定理，因此，直觉主义逻辑又是经典逻辑的一个真部分，它是比经典逻辑要求更多、因而推演能力更弱的一种逻辑。尽管对直觉主义逻辑有种种批评，但它几乎是唯一被一部分数学家所使用并导致实际的数学成果的一种变异逻辑。

五次协调逻辑

次协调逻辑（ Paraconsistent Logic ）是在研究悖论的过程中提出来的。已有的各种解决悖论的方案在总体上不太成功，在学术圈内逐渐滋长了另一种倾向，即转而对悖论持肯定的态度，认为悖论也许是我们的思维甚至外在世界中固有的，是永远摆脱不掉的。因此，对于悖论的正确态度，也许不是拒斥它，而是学会与它相处；当出现矛盾或悖论时，更合理的办法也许是仍然让它们留在理论体系，但把它们“圈禁”起来，不让它们任意扩散，危害我们所创立或研究的理论整体，使它们成为“不足道”的。这种观点显然与认为矛盾律至高无上的经典逻辑不相容，与传统的直理观也不相容。于是，有些研究者如普里斯特（ G . Priest ）就选择了下述途径：修改传统的真理论，修改不允许任何矛盾、主张从矛盾可以推出任意命题的经典逻辑，去建立所谓的“次协调逻辑”，在其中能够容纳有意义、有价值的“真矛盾”，但这些矛盾不能使系统推出一切，导致自毁。于是，这些新逻辑具有一种次于经典逻辑但又远远高于完全不协调系统的协调性。[6]

次协调逻辑学家们认为，如果在一理论 T 中，一语句 A 及其否定 乛A 都是定理，则 T 是不协调的；否则，称 T 是协调的。如果 T 所使用的逻辑包含前面提到的“由假得全”原则，即从互相否定的两公式可推出一切公式，则不协调的 T 一定是不足道的（ trivial )。因此，通常以经典逻辑为基础的理论，如果它是不协调的，则它一定是不足道的。这一现象表明，经典逻辑虽可用于研究协调的理论，但不适用于研究不协调但又足道的理论。巴西逻辑学达·科斯塔（ N . C . A . da Costa ）在20世纪60年代创立了次协调逻辑，构造了一系列次协调逻辑 Cn ( l ≤ n ≤ w )，以用作不协调而又足道的理论的逻辑工具。对次协调逻辑系统 Cn 的特征性描述包括下述命题：

(1）矛盾律乛( A∧乛A ）不普遍有效。

(2）从两个相互否定的公式 A 和 乛A 推不出任意公式，即是说，矛盾不该在系统中任意扩散，矛盾不等于灾难。也就是说，应该让经典逻辑的定理 A∧乛A → B 在次协调逻辑中失效。

(3）应当容纳与（1）和（2）相容的大多数经典逻辑的推理模式和规则。

上述（1）和（2）表明了对矛盾的一种相对宽容的态度，(3）则表明次协调逻辑对于经典逻辑仍有一定的继承性。

达·科斯塔的次协调逻辑 Cn ( l ≤ n ≤ w ）系列具体构造如下：

公理：

A1 A →( B → A )

A2 ( A → B )→(( A →( B → C ))→( A → C ))

A3 （( A → B )→ A )→ A

A4 A∧B → A

A5 A∧B → B

A6 A →( B → A∧B )

A7 A → AVB

A8 B → AVB

A9 ( A → C )→(( B → C )→( AVB → C ))

A10 B ( n )→(( A → B )→(( A → 乛B )→ 乛A ))

A11 A ( n ) ∧ B ( n )→( A → B )( n ) ∧ ( A∧B )( n ) ∧ ( AVB )( n )

A12 AV 乛A

A13 乛乛A → A

变形规则：

MP 从 A 和 A → B 推出 B

这里，对任意公式 A , A 的定义如下：

A＾1 = A °= 乛( A∧乛A )

A＾k＋1 =( A＾k)°，即乛( A＾k ∧乛 A＾k)

A＾（n） = A＾1∧A＾2∧A＾3∧ … A＾nA

在任一个次协调逻辑系统 Cn ( l ≤ n ≤ w ）中，下述经典逻辑的定理或推理模式不成立：

(1) 乛 ( A∧乛A )

(2) A∧乛A → B

(3) A →( 乛A → B )

(4)( A ↔ 乛A )→ B

(5)( A ↔乛A ）→ 乛B

(6) A → 乛乛A

(7)( 乛A∧ ( AVB ))→ B

(8)( A → B )→( 乛B → 乛A )

若以 C0为经典逻辑，则系列 C0, C1, C2… Cn… Cw使得对任正整数 I ,有 Ci 弱于 Ci-1，Cw是这一系列中最弱的演算。已经为 Cn 设计出了合适的语义学。证明 Cn 相对于此种语义是可靠的和完全的，并且命题逻辑系统 Cn 还是可判定的。

我认为，可以基于某些实用的理由去为次协调逻辑辩护。在科学史上，我们并不会因为在某一理论或假说中发现矛盾，就说这个理论崩溃了，将它加以抛弃，而是采取如下两种策略：一是立即设法去解决这个矛盾，从而发展和完善该理论；如果暂时无法解决这个矛盾，则把它搁置起来，继续去发展该理论，也许该理论发展到某一阶段时，该矛盾就被消化和解决掉了。另外，在我们的法律体系中，也不会因为发现了某些法律条文的相互冲突和矛盾，就宣布整套法律体系作废。相反，法律的颁布、修改等等都要经过一定的程序。在该套法律没有被修改之前，它依然有效，仍要被实施，如果遇到特殊情形则作特殊处理。这就意味着，我们应该以某种方式限制矛盾律的作用，并且不能允许从逻辑矛盾推出一切命题，从而使相关理论崩溃。在把允许矛盾当做一种暂时性的实用策略的意义上，我认为，次协调逻辑有其合理性。不过，不能由此认为，矛盾律不是普遍有效的，我们的思维中应该允许逻辑矛盾合法存在。相反，我强烈地认为，逻辑矛盾终归是要被消除的东西。

注 释

[1] 塔斯基：《真理的语义学概念和语义学的基础》，见涂纪亮主编《语言哲学名者选辑：英美部分》，三联书店，1988年，第262页。

[2] 转引自 N . Rescher , Many - valued Logic , McGraw - Hill Book company ,1969, pp .22-23。

[3] Ibid ., p .8.

[4] 蔡曙山：《多值逻辑的哲学意义》,《贵州社会科学》1991年第12期，第21页。

[5] E. J. Nelson ,“ Intentional relations ”, Mind , n . s .39,1930, PP .440-453。

[6] G. Priest ,“ Paraconsisitent Logics ”, in Dov M . Gabbay , F . Guenthner (eds.) ，Handbook of Philosophical Logic , Second Edition , vol .6,2002; ln Contradiction，A Study of the Transconsistent, Martinus Nijhoff Publishers ,1989.

【附录二】：

严格蕴涵

（来源：头条号。内容有删改）

严格蕴涵(strict implication)是蕴涵的一种，用于模态逻辑。它最初由英国逻辑学家麦柯尔(H.MacColl)提出，美国哲学家、逻辑学家刘易斯(C.I.Lewis)在创立现代模态逻辑时使用了这种蕴涵。严格蕴涵用鱼钩符号“⊰”表示，它可以由模态算子◇(称为“可能算子”，◇p意为“p是可能的”)或□(称为“必然算子”，□p意为“p是必然的”)以及真值联结词来定义。在刘易斯的模态逻辑系统中，A⊰B(读作“A严格蕴涵B”)被定义为¬◇(A∧¬B)(读作“‘A真且B假’是不可能的”)。A⊰B也可以被等价地定义为□(A→B)(读作“‘A实质蕴涵B’是必然的”)。“A实质蕴涵B”只意味着“A真而B假”，这个命题是假命题。当命题A与命题B之间存在某种必然联系时，即A真而B假为不可能时，称A“严格蕴涵”B。日常语言中的“蕴涵”所指的就是严格蕴涵。

在命题逻辑中，我们将“如果 P，那么 Q”符号为“P→Q”。“P→Q”叫做“实质蕴涵”。实质蕴涵的逻辑性质完全由“→”的特征真值表决定。一个明显的事实是，“→”与日常语言的“如果…那么…”的含义并不完全相同，有时相去甚远。例如：

(1)李白是诗人→ 2＋2＝4。这是一个真命题，既然它的前件和后件都是真的。但是

(2)如果李白是诗人，那么2＋2＝4。

这在日常语言中则是一个假命题甚至是无意义的。这是因为日常语言中的蕴涵命题的真值不仅取决于前件和后件的真值，而且取决于前件和后件之间的关系。具体地说，仅当前件和后件之间具有某种必然联系时，日常语言中的蕴涵命题才为真。命题(2)之所以常常被人们看作假的，就是因为它的前件和后件之间没有必然联系。

严格蕴涵的定义

模态命题逻辑的一个重要目标是要较好地反映日常语言的蕴涵命题。为了做到这一点，模态命题逻辑提出一种不同于实质蕴涵的蕴涵关系，即“严格蕴涵”，其定义是：

P 严格蕴涵 Q，当且仅当，P → Q 是必然的。

性质及举例

从这个定义我们可以看出，严格蕴涵命题比实质蕴涵命题断定得更多更强。因此，如果一个命题作为严格蕴涵命题是真的，那么，该命题作为实质蕴涵命题也是真的；换言之，如果一个命题作为实质蕴涵命题是假的，那么，该命题作为严格蕴涵命题也是假的，请注意，此论断的逆论断不成立。我们考察几个具体的例子。

(3)如果3被2整除，那么9被2整除。

(4)如果A国有核武器，那么A国立即发动第三次世界大战。（注：这里用英文单词首字母代写国别名）

(3)作为严格蕴涵命题是真的。因为它的前件和后件之间的蕴涵关系具有必然性；(3)作为实质蕴涵命题也是真的，既然它的前件是假的。(4)作为实质蕴涵命题是假的，因为(4)的前件真而后件假；同时，(4)的前件真而后件假这一事实足以表明(4)的前件和后件之间没有必然联系，因而(4)作为严格蕴涵命题也是假的。

(5)如果太阳从东边升起，那么雪是白的。

(6)如果太阳从东边升起，那么早晨东方先亮。

(5)和(6)的前件和后件都是真的，因而它们作为实质蕴涵命题都是真的；但是，作为严格蕴涵命题，只有(6)是真的，而(5)是假的，既然(5)的前件和后件之间没有必然联系。

总之，如果一个蕴涵命题的前件真而后件假，那么该命题无论作为实质蕴涵命题还作为严格蕴涵命题都是假的。如果一个蕴涵命题并非前件真而后件假，那么该命题作为实质蕴涵命题是真的；但作为严格蕴涵命题则可能真也可能假，这取决于前件和后件之间有无必然联系：若有则真，若无则假。应该说，比起实质蕴涵命题，严格蕴涵命题更接近于日常语言的蕴涵命题。

起源及相关研究

麦柯尔(H.MacColl)早在1880年就提出了适合于刻画严格条件句的新蕴涵词，并采用符号“：”来表示，它的解释是“如果在它前面的那个命题是真的，那么，在它后面的那个命题必然是真的”。这就是后来所说的严格蕴涵。麦柯尔在1903年的论文《符号推理》中，更明确说明了他的新蕴涵(：)与旧蕴涵词(<，实质蕴涵)的联系及其不同涵义。

A＜B＝（A＇＋B）＝（AB＇）＇，

A：B＝（A＇＋B）ε＝（A＜B）ε.

前一式可读作：A实质蕴涵B，即(或者)非A或者B，也即并非A与非B；后一式可读作：A严格蕴涵B，即必然地(或者)非A或者B，也即必然地A实质蕴涵B，其中 ε 用来表示麦柯尔所引进的模态词“必然”。实际上严格蕴涵的思想渊源同样可以追溯到古希腊，按照麦加拉学派的第奥多鲁斯理论，可以将这种蕴涵作强语义解释，即：

[α 真，同时 β假]这是不可能的。

然而，只有当美国逻辑学家刘易斯(C.I.Lewis)重新发现严格蕴涵之后才引起人们对它的真正注意。刘易斯的最初目的是反对他认为是错误的蕴涵解释(“实质”蕴涵错误地暗示前后件之间的意义联系，因而引起悖论)。为了强化原来的蕴涵，在1921年的论文《蕴涵与逻辑代数》中，他对严格蕴涵作了如下定义：

A ⊰ B＝def：～（A 一 B）.

读作：A 严格蕴涵B定义为不可能A而且非B。其中鱼钩符号 ⊰ 表示 严格蕴涵，～表示不可能，一 表示否定。如果改用现代方式，采用“可能”算子 ◇ 重新表述，那么就有：

α ⊰ β＝def：乛◇（α ∧ 乛β）.

刘易斯引进严格蕴涵之后，很自然地着力于建构相应的严格蕴涵形式系统，也就是 模态命题逻辑。1932年他在与朗福德(C.H. Langford)合写的《符号逻辑》一书中创立了模态命题逻辑S1～S5系统。可见严格蕴涵与模态逻辑的产生是分不开的。在逻辑哲学中蕴涵词的演化与构造模态、相干逻辑的哲学动机实质上是同一个问题的不同侧面。一般地，新算子、新联词总是跟新的非经典逻辑联系在一起的。

严格蕴涵与实质蕴涵之间存在性质上的区别，实质蕴涵所刻画的是命题之间抽象的真假关系，也就是真值函项关系(请注意：绝不是什么内容上的具体关系)，而刘易斯用严格蕴涵想要刻画的则是命题之间的逻辑关系。用 A ⊰ B 想要断定的是B已暗含在A中，从A推出B在逻辑上是必然的，想要表示B是A的逻辑后承。但严格蕴涵并没有达到刘易斯想要达到的理想境界，不过与实质蕴涵相比确实进了一大步，要求更严格了。实质蕴涵要求确实不是前件真而后件假，而严格蕴涵则要求根本不可能前件真而后件假。严格蕴涵系统确实避免了与前述实质蕴涵悖论相对应的命题。

尽管如此，刘易斯本人也注意到，它却会产生新的独特的悖论或怪论——“严格蕴涵悖论”，如：

(1) □A ＞（B ⊰ A）；

(2) 乛◇ A＞（A ⊰ B）；

(3) （A∧乛A）⊰ B；

(4) B ⊰ （AV乛A）。

(1)式读作如果必然A，那么任意B严格蕴涵A；(2)式读作如果不可能A，那么A严格蕴涵任意B；(3)式表示矛盾命题严格蕴涵任意命题；(4)式意即任意命题严格蕴涵逻辑真。刘易斯认定，尽管这些论断与日常习惯用法极不一致，然而这些公式在逻辑上却都是有效的，因为每一步都是无可非议的(从经典逻辑立场看确实如此)，所以他认为“怪论不怪”。这就引起了许多哲学上的争论。

【附录三】：

逻辑学家阿尔弗莱德·塔斯基的传奇人生

原创1年前 · 中国科学技术大学副研究员 科技与战略风云学会会长

最近我看到一篇神奇的文章《私生活逻辑混乱的“最强”逻辑学家》，介绍了伟大的逻辑学家阿尔弗莱德·塔斯基（Alfred Tarski，1901 - 1983）丰富多彩的一生。

一般认为，塔斯基是哥德尔（Kurt Gödel，1906 - 1978）之外二十世纪最伟大的逻辑学家，不过他本人大概认为自己可以同哥德尔比肩。为什么呢？他证明了实数的一阶理论是可判定的，而哥德尔和丘奇（Alonzo Church，1903 - 1995）证明了整数的一阶理论是不可判定的。

这是一个有趣的对比，在实数域可判定的理论，在整数域却不可判定。相比之下，不可判定更让人吃惊，所以哥德尔的结果更美、更伟大。

塔斯基是波兰犹太人，生于1901年，逝于1983年，22岁拿到华沙大学博士学位。1939年，纳粹德国入侵波兰已经迫在眉睫，美国逻辑学家蒯因（Willard Van Orman Quine，1908 - 2000）和几位朋友劝他来美国，但他因为害怕在陌生的国度找不到合适的学术位置而犹豫不决。正好1939年9月哈佛大学要召开“哲学和科学统一大会”（Congress of Unity of Philosophy and Science），蒯因和朋友们趁此机会为塔斯基买了机票并负责吃住，把他连蒙带骗地给整到了美国。

塔斯基到美国没几天，德国就入侵波兰。塔斯基的父母以及一堆亲戚是死在纳粹屠刀之下的最早一批波兰犹太人，蒯因救了塔斯基的命。

这是一段沉痛的经历。我的博士后导师Roald Hoffmann就是波兰犹太人，出生于1937年，即德国入侵波兰之前两年。他在二战期间跟他母亲被一位好心的乌克兰人藏在阁楼上，躲过了大屠杀。他的父亲被抓进了集中营，但他是个英雄，在集中营中发动起义，被德军镇压。

2012年，Roald Hoffmann 75岁生日的时候，我回到康奈尔大学参加聚会。老爷子在演讲的开头回忆起许多人未能坚持过二战，仍不禁哽咽失声。

为了帮塔斯基找工作，蒯因请伟大的哲学家、数学家、我崇敬的学术榜样罗素（Bertrand Arthur William Russell，1872 -1970）帮忙。罗素在回信中说：“我完全同意你对塔斯基的评价，在他那一代逻辑学家中（你除外），没人能同他比肩。”请看逻辑学家是怎样夸人的：一下夸俩，不留死角！

塔斯基1943年起出任伯克利的数学和逻辑学教授，迅速把伯克利变成了逻辑学的圣地。塔斯基培养了一批干才，包括朱莉娅·罗宾森（Julia Robinson，1918 - 1985）、张晨钟、所罗门·费佛曼（Solomon Feferman，1928 - 2016）等。

其中朱莉娅·罗宾森成为美国第一位女数学院士、美国数学会第一位女会长，并对解决希尔伯特第十问题做出重要贡献。塔斯基还曾担任过符号逻辑学会的会长及国际科学史和科学哲学学会的会长，为逻辑事业的发展做出不可磨灭的贡献。

以上这些都像是正常的传记。但奇妙的是，这篇文章有一半篇幅是记载塔斯基跟女学生、女秘书的各种风流韵事。

例如其中有一位叫做万达·史蜜娃（Wanda Szmielew），是塔斯基的三个女博士生。文章中的说法是：

“万达的美是艳丽加神秘、大方且有范。她绝不是中国的理工大学校花身上那种敷衍、有上限的美，她是真美。把万达和赫本、梦露、范冰冰排一块，你仍然觉得万达更突出。”

又如这样一段：

“除了学生和秘书，塔斯基的花边还会延展到朋友的圈子。物理学家弗里曼·戴森（Freeman Dyson）的迷人妻子芙丽娜（Verena）在生了两个孩子之后（其中一个是科学史家乔治·戴森），和逻辑学家乔治·克雷泽尔（Kreisel）私奔，克雷泽尔其实还是戴森邀请到普林斯顿的，这两位又都是塔斯基的朋友。那段时间，塔斯基也不断向芙丽娜献殷勤，并朗诵歌德的情诗。芙丽娜和克雷泽尔散伙后，到伯克利数学系接着读博士，那时塔斯基已移情别处，但一有机会，还是会给她背歌德情诗。”

弗里曼·戴森是一位了不起的数学家、物理学家和思想家，在2020年2月刚刚去世，享年97岁。我向观众介绍过他的很多奇思妙想，包括戴森球。没想到在介绍塔斯基的文章中读到费里曼·戴森的八卦，这简直是八卦的八卦，八卦的平方。

就在我以为这文章是八卦大全的时候，结尾来了个猝不及防的转折：

“塔斯基在十二岁时，翻译过一篇德国小说《最后一小时》，作为给父母结婚十三年纪念日的礼物。故事是这样的：死刑号子里，狱警问第二天就要被行刑的死刑犯要不要找个牧师来忏悔一下，死刑犯说，我才不要呢，我最后的时光要快乐，我想吃猪排喝啤酒，然后再打一圈牌。狱警满足了死刑犯的食欲。晚上，狱警又带着牌桌和刽子手来到号子。死刑犯的手气出奇的好，赢了一把又一把，弄得狱警和刽子手直担心他们没机会赢回来了。这时，死刑犯跟俩对手说：‘我小时候父亲要搬家到柏林，搬家前一天，我把村里的小孩都臭揍了一顿，小孩们纷纷说饶不了我，第二天要他们的哥哥们来报仇，但第二天我已经在柏林街头散步了。’他们再接着打牌，死刑犯指控刽子手耍赖，刽子手不承认，于是俩人打起来，狱警只好把刽子手拖出号子。半小时后，狱警回到号子，死刑犯已在窗户上吊死了，他利用牌桌悬空。遗书列了三条：第一，我真不想让那混蛋把钱赢回去；第二，让耍赖的人对我行刑太不对；第三，没人能对我报仇，我太高兴了。

这故事作为给父母的结婚纪念日礼物，看上去不合时宜。但设身处地，波兰犹太人家的孩子，在恶劣的外部环境中，内心仍不得不怀希望。伯克利就是塔斯基的柏林。从这个角度看，也许他的人生和学问并没有那么割裂。”

这令我感慨万千，想起了Roald Hoffmann和反映集中营生活的喜剧电影《美丽人生》，不禁泫然泪下。