探究奇妙正方形

分割拼接趣味多

作者：

安徽省灵璧县黄湾中学(234213)华腾飞

正方形是一种简单又常见的图形，本文拟探究与正方形密切相关的分割与拼接的趣味问题。

1.正方形的分割问题

将一个大一点的正方形剪成n个小正方形,图1表明n可以等于4. n还可以等于哪些数?(知道多少就写多少)

探究:n究竟可以等于哪些数呢?

刚开始，大家很容易想到的是n=2²=4 n=3²=9,n=4²=16,…(如图1,图2,图3)

图1 图2 图3

再探究在这个基础上,还能产生哪些数呢?

世界著名的数学家德·摩根(DeMorgan)曾说过:“数学发明创造的动力不是推理,而是丰富的想象力的发挥.”

学过生物的学生都知道，一种原生虫的繁衍过程是分裂，为此我们可以把一个正方形想象成一种特殊的“原生虫”,它的“繁衍”过程也是“分裂”——一个正方形每次分裂为4个小正方形，就得到n=4.在此基础上让其中的一个小正方形(图4中左下角的正方形)再“分裂”，就得到n=4+3=7.这说明每分裂一次,就增加三个小正方形，这样，只要能用剪刀将一个正方形剪成6个、7个和8个正方形，整个问题就解决了.因为在这三种分割方法的基础上，让其中的一个小正方形“原生虫”再“分裂”一次，便得到n个可以等于6+3=9,7+3=10,8+3=11.如此重复“分裂”下去，就会出现n可以等于以下各数:

即n=6，7，8，9，10，11，12，13，14...

因此,这个问题就转化为:设法用剪刀将一个正方形剪成6个、7个和8个正方形的问题，事实上，这是完全可以办到的.图4是n=7的情形,图5是n=6的情形，图6是n=8的情形.

图5 图6

在思考过程中，图5和图6是怎样发现的呢?还是按照德·摩根的意见去办——数学发明创造的动力不是推理，而是丰富的想象力的发挥.

正方形被想象成一种特殊的“原生虫”,在“繁衍”过程中，既然有“分裂”(一分为四)，也可以想象还可以有“合成”(四合为一),即将4个连在一起的小正方形合并为一个大正方形.于是，一次“分裂”增加3个正方形,而一次“合并”便减少了三个正方形.由于6=3²-3,因此图5就这样被发现了.

图6(n=8)是怎样发现的呢?——将9个连在一起的正方形“合成”为一个,通过一次“合成”便减少了8个正方形,而8=4²-8,于是图6便这样被发现了.

至此，我们不难想起数学家沃尔森尔(Voltaire)的话:“数学中也有惊人的想象……,再说一遍，阿基米德脑海中的想象远比古希腊大诗人荷马头脑中的想象要丰富的多.”

因此，大家要想学好数学知识，那就要插上思维的翅膀——想象.否则你在思考中是经常会受阻的.

下面还有三个有趣的小问题,请大家认真探讨，并予以解决:

(1)用两种不同的分割方法,将一个正方形分割成11个正方形.

(2)用两种或更多种不同的分割方法,将一个正方形分成22个正方形.

(3)说明怎样将一个正方形分割成3⁵=243个正方形.

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请大家思考几分钟，一张图之后，提供参考答案。(原文无答案)

问题(1)用两种不同的分割方法,将一个正方形分割成11个正方形.

方法1：在5×5的方格纸上，有面积为1的正方形8个，面积为4的正方形2个，面积为9的正方形1个，合计11个。

在6×6的方格纸上，面积为1的正方形有6个，面积为4的正方形有3个，面积为9的正方形有2个，合计11个。

问题(2)用两种或更多种不同的分割方法,将一个正方形分成22个正方形.

方法1：在5×5的方格纸上把4个正方形合并成一个。即25-3=22

方法2：在4×4的方格纸上，让2个正方形分裂(一分为四)。即16+3+3=22

问题(3)说明怎样将一个正方形分割成3⁵=243个正方形.

参考答案：在9×9的方格纸上，让每个正方形分裂(一分为四)。即81×3=243

2.将长方形分割后拼接成正方形问题

著名的德国数学家戴恩(1878~1952)从小就对几何知识特别有兴趣，尤其是对一些图形的分割、拼接问题更是心爱有加.

一次，当几何老师在讲完正方形的性质后，看到还有十多分钟的时间，于是他便信手拈来一道几何问题，用以打发剩下的

图7

时间.他在黑板上先画了一个矩形，如图7,然后写道:如何用最简单的方法将矩形分割成形状完全相同的两部分，然后将它们拼接成一个正方形?

令他没有想到的是,时间仅仅过了3分钟,聪明的戴恩就将他的答案呈现在老师面前，如图8所示

图8

其实，原矩形面积为18x8=144,由此可知所拼的正方形边长为12.有了这些数据,余下的工作就是如何巧妙地进行分割以满足要求。

老师见还有不少时间,于是又说道:“能否将图7中的矩形分割成3个小矩形(形状可以不同)后，再拼接成一个正方形呢?”戴恩稍微动了一下脑子，然后又比划了一下,很快又得出了结果,如图9所示.

图9

后来,戴恩又看到一道有关矩形分割的趣味问题，这使戴恩对此着了迷.问题是这样的:

请将一个5x9的矩形如图10,分割成15个全等的六边形.

戴恩看着图形发5呆，“15个……”他一边

自言自语，一边在草稿

图10

纸上写道:9x5÷15=3.原来每个分割成的图像面积皆为3,而面积为3的诸多图形中，只有1x3的矩形较为简单，可题目要求的并不是矩形。

思索良久，他突然想到了方格纸——就是画函数图像用的坐标纸，顿时眼前一亮：

正是面积为3的六边形.接着,他巧妙地将矩形分割成15个

如图11所示. ，

问题解决后，戴恩又往深处思考:如果矩形换成正方形，它也能分割成15个全等的图形吗?如果可能的话， 正方形边长(整数)至少是多少?

戴恩思考了好几天,当他请教了几何老师以后，老师的简单指点使他茅塞顿开:“你把5x9的矩形长边按照

比例缩减，或将矩形按比例

延扩，则矩形可变成正方形.”

于是,戴恩将原来面积为3的图形先依比例转化为图12的尺寸，然后再按照前面矩形分割(当然也可反过来用15个图形进行拼接)，可得图13显然，图中正方形边长应为45×45,这是满足这种分割的正方形整数边长最小者.

相信你从戴恩的分割、拼接正方形的技巧中一定学到了不少东西,思维更丰富了吧!希望大家能够展开丰富想象力的翅膀，在数学殿堂中展翅翱翔。

图13

3巧拼正方形考题分析

把几个小正方形剪开拼接成一个大正方形的问题，常常出现在各种智力竞赛中.大家往往采用试验的办法，可是一般难以奏效.如果能够灵活地运用勾股定理，则可以巧妙地解决此类问题，现举例说明，相信定会对你们有所启迪。

例1 如图14所示，矩形是由两个相同的正方形组成，怎样用最简单的剪拼方法，把矩形拼成一个大正方形?

分析:设小正方形的边长为1,则拼接成的大正方形的面积为2,边长为√2，√2恰好是小正方形的对角线的长。

∵ ∠1+∠2=90°, ∴最简单的剪拼方法是:按图

第76页 中

中的虚线剪两刀后拼接即可.

例2 把五个全等的小正方形排在一起，如图15所示.怎样用最简单的剪拼方法,把其形拼成一个大正方形?

分析:设每个小正方形的面积为1,则所要拼接成的大正方形的面积为5，边长为√5，而√5是边长分别为1、2的长方形的对角线。

容易证明∵∠1=∠2，∠1+∠3=90°,故最简单的剪拼方法是:只要按照图15中的虚线剪两刀，便可拼接成一个大正方形.

例3 如图16所示，边长为a、b的两个正方形放在一起，怎样用最简单的剪拼方法，把其拼成一个大正方形?

分析:由于拼成后的正方形的面积为a²+b²，边长为

为此可以在较大的正方形的一边取一点E,使AE=b,连接BE,则BE=

，这样便很容易得出:EF=a

连接EG,则EG=

，∵∠1=∠3, ∵∠2+∠3=90°，故最简单的剪拼方法是:只要按照图16中的虚线剪两刀，便可拼接成一个大正方形.

从上述几例可以看出,把若干个小正方形剪开，拼接成面积为A的大正方形的思考方法是:首先从数量上考虑

(b、c是一个直角三角形的两直角边长)，√A为斜边长,也就是正方形的边长.然后则要考虑剪切线必须相互垂直,可以利用直角三角形的性质来研究垂直关系,从而确定剪切的位置.

例4 如图17所示,是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,将其分成4块形状和大小都一样的小长方形，然后按图18所示的那样拼接成一个正方形，则中间空的部分的面积是( ).

图17 图18

A. ab B.(a+b)² C.(a-b)² D. a²-b²

分析:中间空的部分是一个正方形,要求其面积，只需知道正方形的边长即可.

解:中间空的部分是一个边长为a-b的正方形，其面积为(a-b)²，应选C.

点评:求正方形的面积,也利用大正方形的面积减去4个矩形的面积，即(a+b)²-4ab，然后进行因式分解。同时这也可以得到一个等式(a-b)²=(a+b)²-4ab.

例5 (2019绍兴)把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图19的四块，其中点o为正方形的中心，点E、F分别为AB、AD的中点.用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ(要求这四块纸片不重叠无缝隙)， 则四边形MNPQ的周长是______.

分析:根据要求所拼的图形如图所示，图20(1)中四边形的周长为1+1+1+√2+1+2+2+√2=8+2√2;

图20(2)中四边形的周长为1+1+2+1+1+1+2+1=10;

图20(3)中四边形的周长为1+√2+√2+2+1+2=6+2√2.

图20

综上所述，四边形MNPQ的周长为10,6+2√2或8+2√2.

练习:(2015河北)如图21是甲、乙两张不同的矩形纸片,将它们分别沿着虚线剪开后,各自要拼接一个与原来面积相等的正方形,则( ).

图21

A.甲、乙都可以 B.甲、乙都不可以

C.甲不可以,乙可以 D.甲可以，乙不可以

答案 A

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文章来源：

中小学数学

2022年1-2月中旬(初中)