数学归纳法的诞生

2022-06-03 09:45·数学英才
我们经常会遇到涉及全体自然数的命题，对待这种问题，如果要否定它，你只要能举出一个反例即可。如果要证明它，由于自然数有无限多个，若是一个接一个地验证下去，那永远也做不完。怎么办?数学家想出了一种非常重要的数学方法来解决这类问题，那就是数学归纳法。数学归纳法在数学中有着广泛的应用，它是沟通有限和无限的桥梁。
欧几里得的开端
实际上，人们很早就遇到了无限集合的问题，而当时具体的推导或计算都只是针对有限对象，实施有限次论证。怎样在具体的推导或计算中把握无限的难题，这很早就摆在数学家面前了。
最先是古希腊数学家欧几里得在他的《几何原本》中采用了近似于数学归纳法的思想。该书第9卷第20命题是：“素数比任何给定的一批素数都多。”
欧几里得在证明这一命题时采用了独特的“几何”方式，他把数视为线段：设有素数a、b、c，另设d=a•b•c+1，则d或是素数或不是素数。如果d是素数，则d是与a、b、c三者都不同的素数。如d不是素数，则它必有素因数e，并且e与a、b、c都不同，所以一定有比给定的素数更多的素数。
这一证明里隐含了：若有n个素数，就必然存在n+1个素数，因而自然推出素数有无限多个。这是一种试图用有限推导把握无限的做法。虽然它不是很完善，但由于它隐含着这个命题，是人们还是普遍接受了它。这可以说是数学归纳法思想产生的早期，是人们沟通有限和无限的一种初步的尝试。
帕斯卡的工作
欧几里得之后，似乎是由于数学的发展长期没有进一步提出涉及无限集合的问题，所以在漫长的18个世纪中没有人在这个问题上前进一步。直到16世纪，一位意大利数学家毛罗利科在他的《算术》一书中明确地提出了一个“递归推理”原则，并提出了一个例子：
“证明1+3+5+…+(2k-1)=k2对任何自然数都成立。”他用这一例子来说明这一原则的应用。不过他并没有对这一原则作出清晰的表述，所作的证明也仅限于对k=2、3、4时进行的计算。他仍像欧几里得那样，隐含地表示出原则的必要性。但由于他第一次正式提出这一原则，并以例子说明，所以人们认为毛罗利科是第一个正式应用数学归纳法的人。
明确而清晰地阐述并使用了数学归纳法的是法国数学家、物理学家帕斯卡。帕斯卡发现了一种后来被称为“帕斯卡三角形”的数表，即二项展开式系数表，中国称为“贾宪三角形”(是宋代贾宪于公元11世纪最先发现的)。而帕斯卡在研究证明这个算术三角形命题时，他最先准确而清晰地指出了证明过程所必须且只需的两个步骤，他称之为第一条引理和第二条引理。
第一条引理该命题对于第一个数(即n=1)成立，这是很显然的。
第二条引理如果该命题对任一数(对任一n)成立，它必对其下一数(对n+1)也成立。由此可见，该命题必定对所有n值都成立。
帕斯卡的证明方法正是现在的数学归纳法，他所提出的两个引理就是数学归纳法的两个步骤，他在1654年写出的著作《论算术三角形》中做了详尽的论述。因此，在数学史上，人们认为帕斯卡是数学归纳法的创建人。
归纳法的完善
由于帕斯卡的时代尚没有建立表示自然数的符号，所以帕斯卡证明的第二步仍然只能以例子来陈述。
1686年，瑞士数学家J•伯努利提出了表示任意自然数的符号，在他的《猜度术》一书中，给出并使用了现代形式的数学归纳法。
这样，数学归纳法开始得到世人的承认并得到数学界日益广泛的应用。后来，英国数学家德•摩根给定了“数学归纳法”的名称。1889年，意大利数学家皮亚诺建立自然数的公理体系时，把数学归纳法作为自然数的公理之一(称为递归公理或数学归纳法公理)确立起来。这才为数学归纳法奠定了坚实的理论基础。
那么数学归纳法与人们通常说的逻辑学中的“归纳法”有什么关系呢?对这一问题曾有过数学归纳法是归纳方法还是演绎方法的争论。这主要缘于“数学归纳法”的名称有误，实际上，它应称为“递归方法”或“递推方法”，是一种“从n过渡到n+l”的证明方法，与逻辑学中的归纳法没有什么关系。严格地说，它倒属于演绎方法：递归公理是它的一个大前提。
以有限把握无限
数学归纳法中的递推思想在我们的生活实践中经常会遇到。比如家族的姓氏，我们知道通常按父系姓氏遗传，即下一代的姓氏随上一代父亲的姓确定，并且知道了有个家族第一代姓李，只要明确了这两点，我们就可以得出结论：这个家族世世代代都姓李。再比如，把许多砖块按一定的间隔距离竖立起来，假定将其中任何一块推倒都可以波及下一块砖倒掉，这时你如果推倒了第一块砖，后面无论有多少块砖，肯定全部会倒掉。
这两个事例告诉我们这样一个道理：在证明一个包含无限多个对象的问题时，不需要也不可能逐个验证下去，只要能明确肯定两点：一是问题所指的头一个对象成立，二是假定某一个对象成立时，则它的下一个也必然成立，这两条合起来就足以证明原问题。数学归纳法就是在这个简单道理的基础上抽象而成的，它的现代表述是：证明关于自然数n的命题P(n)，只要：一证明P(1)为真；二假设P(k)为真，则P(k+1)为真。两项都得到证明，则P(n)为真。
依赖于自然数的命题在数学中普遍存在，用数学归纳法证明这类命题，两步缺一不可：第一步叫奠基，是基础；第二步叫归纳，实际上是证明某种递推关系的存在。这是以有限来把握无限，通过有限次的操作来证明关于无限集合的某些命题。
数学界把数学归纳法视为沟通有限和无限的桥梁。假如没有这个桥梁，很难想象人类如何认识无限集合问题，数学的发展也将会大打折扣。所以，数学家非常重视并经常使用它，正是这座桥梁使人类通向了认识的彼岸。

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