求根公式记忆口诀，绝妙的宋元时代的四元术、垛积术与招差术，中世纪数学的世界之巅

明清之际，西方的数学体系传入中国，中国的学者们在震惊之余，也不断反思，梳理中国古代数学发展的脉络，探究中国古代数学与当时的西方数学间的异同。经过一番研究比较，人们认为，当时的西方数学知识固然先进而自成体系，但其实也是中国"古已有之"的，不足为奇。康熙皇帝时代，"西学中源"说被不少学者认同，他们认为：商高、陈子等人的"勾股术"，刘徽的"重差术"，就是西方几何学的源头，李冶、朱世杰的"天元术"、"四元术"，就是西方代数学的源头，杨辉、朱世杰等人的"垛积术"，就是西方微积分的源头，等等。这种思想的形成，无疑源自长期以来中国人"古老而骄傲的"民族性格，我们的古人在数学方面付出了极大的努力，做出了巨大的贡献，让我们不要忘记这些光荣的名字：商高、陈子、刘徽、祖冲之、祖暅、沈括、秦九韶、杨辉、李冶、朱世杰……

中世纪（Middle Ages， 大约500--1400 ）的漫漫长夜长达近千年，代表事件分别是罗马帝国的灭亡与文艺复兴。中世纪的数学最辉煌的地域是中国（宋元四大家）、印度（婆罗摩笈多）、波斯（海亚姆）、意大利（斐波那契）.

十三世纪的宋元时期，中国古代的数学发展又迎来了一个黄金时代，达到了一个新的高峰，可惜这是中国古代数学史上的最后一个高峰，此后，中国古代数学再也没有突破性的进展，而西方的数学研究则取得了飞跃的进步。

在这个最后的黄金时代，中国出现了四位最重要的数学家，被后人称为"宋元四大家"，他们是南宋的秦九韶、杨辉，金元时期的李冶，元朝的朱世杰。

1、宋元四大家之秦九韶，

秦九韶，字道古，生于安岳（今四川安岳县）。南宋数学家、官员。代表作《数书九章》18卷（我表示遗憾：北师大版高中数学教材必修5 第51页居然说成《数学九章》！）。

成就：①中国剩余定理（秦九韶定理），比西方的欧拉早500年。它包含在一个称为"大衍总数术"的巧妙算法中。②高次方程的数值解法，比西方的霍纳早500年。③三角形的海伦--秦九韶面积公式（据说这公式阿基米德也已经知道）

2、宋元四大家之李冶

李冶，字仁卿，栾城（今河北栾城县）人，南宋数学家、天文学家、历史学家，进士出身，曾有官职，后归隐封龙山收徒讲学。著有《测圆海镜》、《益古演段》；

其贡献在于引入了名为"天元"（相当于"嫌疑人X"）的未知数概念，创立了利用未知数建立方程的方法（天元术），为几何的代数化铺平了道路。此外，李冶还与秦九韶各自独立地引进记号〇表示空位。至此，中国十进制完善了。

3、宋元四大家之杨辉

杨辉，字谦光，临安（今杭州）人，南宋数学家和数学教育家，曾担任地方官。

著有《详解九章算法》、《日用算法》、《杨辉算法》；

成就：发扬光大了沈括、贾宪的数学成就。此外，杨辉还是中国第一个系统研究幻方（Magic square）的人。最早的幻方也出自中国，洛书，又称九宫格。

3、宋元四大家之朱世杰

朱世杰(13世纪末到14世纪初)是中国古代数学家．字汉卿，号松庭，燕山(今北京附近)人，生卒年不详．元统一中国后，他曾以数学家的身份周游各地20余年，向他求学的人很多，他到广陵(今扬州)时"踵门而学者云集"．他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》(3卷)，又写成四元术的代表作--《四元玉鉴》(3卷)，先后于：1299年和1303年刊印．朱世杰是元朝享有盛誉的职业数学家，后人称他"以数学名家，周游湖海二十余年"，"踵门而学者云集"，学术地位非同一般。《算学启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传朝鲜、日本等国，古代朝鲜曾以《算学启蒙》开科取士，深刻影响了这些国家的数学教育和发展历史。《四元玉鉴》则是中国宋元时期数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学成就有"四元术"、"垛积术"与"招差术"等。

《算学启蒙》由浅入深，从一位数乘法开始，一直讲到当时的最新数学成果――天元术，形成一个完整体系．书中明确提出正负数乘法法则，给出倒数的概念和基本性质，概括出若干新的乘法公式和根式运算法则，总结了若干乘除捷算口诀，并把设辅助未知数的方法用于解线性方程组．

《四元玉鉴》的主要内容是四元术，即多元高次方程组的建立和求解方法．秦九韶的高次方程数值解法和李冶的天元术都被包含在内．朱世杰的主要贡献是创造了一套完整的消未知数方法，称为四元消法．这种方法在世界上长期处于领先地位，直到18世纪，法国数学家贝祖(Bezout)提出一般的高次方程组解法，才超过朱世杰．除了四元术以外，《四元玉鉴》中还有两项重要成就，即创立了一般的高阶等差级数求和公式及等间距四次内插法公式，后者通常称为招差术．此书代表着宋元数学的最高水平，美国科学史家萨顿(G．Sarton)称赞它"是中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪的杰出数学著作之一."

朱世杰处于中国传统数学发展的鼎盛时期．当时社会上"尊崇算学，科目渐兴"，数学著作广为传播．在宋元时期的数学群英中，朱世杰的工作具有特殊重要的意义．如果把诸多数学家比作群山，则朱世杰是最高大、最雄伟的山峰．站在朱世杰数学思想的高度俯嫩传统数学，会有"一览众山小"之感．来世杰工作的意义就在于总结了宋元数学，使之在理论上达到新的高度．这主要表现在以下三个领域．

首先是方程理论．在列方程方面，蒋周的演段法为天元术作了准备工作，他已具有寻找等值多项式的思想，洞渊马与信道是天元术的先驱，但他们推导方程仍受几何思维的束缚，李冶基本上摆脱了这种束缚，总结出一套固定的天元术程序，使天元术进入成熟阶段．在解方程方面，贾宪给出增乘开方法，刘益则用正负开方术求出四次方程正根，秦九韶在此基础上解决了高次方程的数值解法问题．至此，一元高次方程的建立和求解都已实现．而线性方程组古已有之，所以具备了多元高次方程组产生的条件．李德载的二元术和刘大鉴的三元术相继出现，朱世杰的四元术正是对二元术、三元术的总结与提高．由于四元已把常数项的上下左右占满，方程理论发展到这里，显然就告一段落了．从方程种类看，天元术产生之前的方程都是整式方程．从洞渊到李冶，分式方程逐渐得到发展．而朱世杰，则突破了有理式的限制，开始处理无理方程．

案例：天元术以"元"代表未知数X，以"太"代表常数项。列式时把元字写在算码的右侧，如11元即表示2x，或单写太，如11太也同。写了元便不写太，写了太便不写元。方程式的各项是从下而上，即太在元下，太是常数项，元是X项，元上是X2项，再上是X3项等等。太下是1/X（即X-1）项，再下是X-2项等等。也有记法从上而下恰恰相反。在用算筹排列时，正数用红色筹。负数用黑色筹。用算码时，正负数也用红黑色区别，但为了书写方便，可在算码的个位数加一斜撇，如-2作■，-231作‖川卜。天元术的方法一般是根据问题中已有条件，立天元一（x）为未知数（所求数），最后列出方程式，解方程得数。至于解方程式在一元三次以上，就要用到贾宪的方法。

其次是高阶等差级数的研究．沈括的隙积术开研究高阶等差级数之先河，杨辉给出包括隙积术在内的一系列二阶等差级数求和公式．朱世杰则在此基础上依次研究了二阶、三阶、四阶乃至五阶等差级数的求和问题，从而发现其规律，掌握了三角垛统一公式．他还发现了垛积木与内插法的内在联系，利用垛积公式给出规范的四次内插公式．

第三是几何学的研究．宋代以前，几何研究离不开勾股和面积、体积．蒋周的《益古集》也是以面积问题为研究对象的．李冶开始注意到圆城因式中各元素的关系，得到一些定理，但未能推广到更一般的情形．朱世杰不仅总结了前人的勾股及求积理论，而且在李冶思想的基础上更进一步，深入研究了勾股形内及圆内各几何元素的数量关系，发现了两个重要定理--射影定理和弦幂定理．他在立体几何中也开始注意到图形内各元素的关系．朱世杰的工作，使得几何研究的对象由图形整体深入到图形内部，体现了数学思想的进步．

由此看来，在朱世杰的工作中，不仅有高次方程的解法，天元术等为代表的北方数学的成就，也包括了杨辉工作中所体现出来的日用，商用算法以及各种歌诀等南方数学的成就，不仅继承了中国古代数学的光辉遗产，而且又作了创作性的发展。朱世杰的工作，在一定意义上讲，可以看作是宋元数学的代表，可以看作是古代筹算系统发展的顶峰。就连西方资产阶级学者们也不能否认这一点，乔治萨顿说：朱世杰"是汉族的，他所生存的时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家"，说《四元玉鉴》"是中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一"。朱世杰以他自己的杰出著作，把中国古代数学推向更高的境界，为中国古代数学的光辉史册，增加了新的篇章，形成了宋代中国数学发展的最高峰。