曲线绕x轴旋转一周所得曲面方程，全国大学生数学竞赛不到一周了，这些内容你都掌握了吗？

【注1】以下内容既是竞赛、考研必备知识点，也是平时课程学习必备的复习提纲！

【注2】在解题过程步骤中，使用各种方法前，为了让自己过程清晰展示有理有据，请在解题过程中注明使用的各类依据！

【注3】以下罗列的必备知识点与方法在微 公 号“考研竞赛数学(ID:xwmath)”的“每日一题”（后台回复“每日一题”或点击菜单“高数线代”下的“每日一题”可以查看每日一题总列表）栏目中都能有对应的例题，对于教程中没有给出的相关知识点，则在对应的每日一题推文中进行了说明！同时在菜单“高数线代”菜单下的“高等数学内容导航”中可以查看各章节更详细的知识点总结与课件、单元练习与典型习题解析！或者直接点击“

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高数考试必备：数学竞赛与考研必备知识点及其应用（下）

1、向量基本运算及位置关系判定

↘向量基本量：向量的模、单位化、方向余弦的计算及三个方向余弦的平方和等于1

数量积：两种计算方法(两向量模与夹角的余弦乘积计算公式和坐标计算公式)，向量的模的平方等于自身数量积，两向量的夹角计算公式

↘向量积：行列式定义及计算式，三向量a,b,aXb的位置关系的判定（右手法则、垂直），数量积的模的计算直接计算：两向量模与夹角的正弦乘积

↘混合积：行列式计算公式及轮换性

↘投影：向量a在向量b上的投影等于向量a的模乘以两者的夹角的余弦.

2、向量位置关系的判定和相关几何意义

↘两向量垂直的充要条件数量积等于0，

↘两非零向量平行（共线）的充要条件是两向量的向量积等于0，两向量的坐标成比例，存在非零实数s,t，使得s a+tb=0

↘向量积的模等于两向量为邻边的平行四边形的面积(由此得三角形的面积)

↘向量的混合积的绝对值等于以三个向量为邻边的平行六面体的体积(由此的四棱锥的体积)

↘三向量共面的充要条件是混合积等于0，或存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得

λ1 a+λ2 b+λ3 c=0

3、方程与图形关系及特征

↘空间直线及其方程：直线的一般式方程、点向式方程、对称式(标准式)方程、参数式方程、两点式方程、向量式方程，两直线的位置关系的判定（平行、垂直、夹角、相交、共面、异面）、直线间的距离计算公式（平行、异面），各类方程描述形式之间的转换

↘空间平面及其方程：平面的一般式方程、截距式方程、三点式方程、点法式方程、参数式方程(坐标描述形式，向量描述形式)，平面位置关系的判定（平行、垂直、相交、重合）、两平面的夹角，平面间的距离，平面束方程，各类方程描述形式之间的转换

↘点、平面、直线位置关系的判定：点到平面的距离、点到直线的距离、直线与平面的位置关系的判定（平行、垂直、相交、直线在平面内）、直线与平面的夹角

↘空间曲面及其方程：空间曲面的一般式方程、参数式方程描述，柱面的图形与方程特征，旋转曲面的图形与方程特征，一般曲线绕直线旋转（坐标轴）所得旋转曲面方程的求解，常见曲面（球面、圆柱面、椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面、椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面(马鞍面)、圆锥面）的图形特征及标准式方程、参数方程描述

↘空间曲线及其方程：空间曲线的一般式方程、参数式方程，投影柱面，投影曲线，空间的曲面束，空间曲线两类方程描述的转换

4、构建图形方程的一般思路与步骤

步骤1：根据实际意义，绘制草图，构建合适的空间直角坐标系。

【注1】当然根据问题的描述的方便，也可以是其他坐标系，比如三重积分中讨论的柱坐标系、球坐标系等.

【注2】如果问题本身带有坐标信息，则绘制确定的坐标系，并根据坐标特征绘制草图.

步骤2：在图形上，或者空间任取一符合问题背景或相关几何意义的点，并设其坐标为M(x,y,z).

步骤3：依据问题提供的条件，比如物理意义、几何意义、已有等式等，构建与点M相关的等式. 并转化为点M的坐标变量x,y,z的等式；或者通过适当引入参数，将点M的坐标变量x,y,z描述为有关参数的表达式，如果是平面图形或曲线图形，则一个参数；如果是曲面图形，一般为两个参数.

步骤4：化简相关等式，得到图形的方程描述形式.

【注1】这里考虑的图形为曲面、曲线，数学描述形式对于曲面一般为一个三元方程，或者三个坐标变量关于两个参数的表达式(参数方程)；对于曲线一般为两个三元方程，或者由一个参变量描述的三个坐标变量表达式(参数方程).

5、二元函数基本概念及几个量的计算

↘多元函数相关的基本概念的定义式及其相互关系：二元函数的连续性、偏导数的存在性、偏导数的连续性、可微性、方向导数

↘二元函数极限的计算与存在性的判定：计算方法（极限的运算法则、极坐标方法、定义法），存在性的判定（极坐标方法、特殊路径法、定义法）

↘可微性的判定：定义法、偏导数的连续性

↘方向导数存在性的判定与计算：定义法、可微条件下的偏导数与方向余弦乘积的计算法

↘几个常见量的计算：方向导数、梯度(grad)、散度(div)、旋度(rot或curl)

↘等值面、等值线：等值面、等值线对应的方程描述及与曲面之间的关系，方向导数、梯度在等值线图上的反映

6、复合函数求偏导数

↘复合函数求导，隐函数方程求导数：尤其是抽象函数的复合函数求导，一阶、二阶偏导数的计算，抽象函数一阶导数的复合结构与原来函数相同

↘求导的链式法则：分支偏导，单支全导，分支用加，分段用乘

↘关键：绘制变量关系图

7、多元函数的极值与最值

↘无条件极值判定的一般思路与方法：驻点的二阶导数判定法、黑塞矩阵的正定、负定、不定、不确定结论，不可导点、不确定位置的定义法判定存在，特殊路径判定不存在

↘条件极值的判定与计算思路与方法：拉格朗日乘数法、无条件化

↘最值计算的一般思路与方法：可能的极值点、边界点、图形的尖点位置，直接比较各点取值，实际问题最值的存在性及直接结论

8、几何应用

↘空间曲线的切线与法平面：参数式方程，一般式方程(方程组描述)

↘空间曲面的切平面与法线：一般式方程，参数式方程

9、二元函数泰勒公式及其应用

↘泰勒公式的描述形式及其应用

↘二元函数的拉格朗日中值定理

10、二重积分计算

↘积分的性质：均分区域的二重积分极限定义模型求极限，保序性、绝对值不等式、保号性、估值定理、中值定理及应用

↘计算：直角坐标计算方法、极坐标计算方法、换元法

↘应用：曲顶柱体的体积、平面薄片的质量、质心，转动惯量、物体对质点的引力

↘累次积分交换积分次序：直角坐标、极坐标累次积分交换积分次序

↘定积分的二重积分计算方法

↘计算性质：偶倍奇零的计算性质和积分区域的轮换对称性. 注意考虑利用线性运算性质拆分积分和基于积分对积分区域的可加性分割积分区域应用计算性质.

11、三重积分的计算

↘积分的性质：均分区域的二重积分极限定义模型求极限，保序性、绝对值不等式、保号性、估值定理、中值定理及应用

↘计算：直角坐标计算方法、柱坐标计算方法、球坐标计算方法、换元法

↘应用：立体体积、立体的质量、质心，转动惯量、物体对质点的引力

↘累次积分交换积分次序：直角坐标、柱坐标、球坐标累次积分交换积分次序

↘计算性质：偶倍奇零的计算性质和积分区域的轮换对称性. 注意考虑利用线性运算性质拆分积分和基于积分对积分区域的可加性分割积分区域应用计算性质.

12、对弧长的曲线积分

↘积分的性质：保序性、绝对值不等式、保号性、估值定理、中值定理及应用

↘计算：被积函数定义在积分曲线上，偶倍奇零计算性质、轮换对称性，直接参数方程代入法

↘应用：曲线长度、母线平行于坐标轴的柱面片的面积、曲线型物体的质量、质心，转动惯量、物体对质点的引力

13、对坐标的曲线积分

↘计算：被积函数定义在积分曲线上，轮换对称性，直接参数方程方法、格林公式、斯托克斯公式，积分与路径无关、转换为对弧长的曲线积分计算

↘应用：变力沿曲线作功，流量、环量

↘格林公式：应用的条件，平面曲线、空间曲线上积分与路径无关的四种等价描述

↘全微分方程：全微分方程的判定和计算的一般思路

↘斯托克斯公式：应用条件，旋度

14、对面积的曲面积分

↘积分的性质：保序性、绝对值不等式、保号性、估值定理、中值定理及应用

↘计算：被积函数定义在积分曲面上，偶倍奇零计算性质、轮换对称性，直接法（要求曲面为简单曲面，不为简单曲面则分割曲面为简单曲面分别计算）

↘应用：曲面片的面积、质量、质心，转动惯量、物体对质点的引力，流量

15、对坐标的曲面积分

↘计算：被积函数定义在积分曲面上，奇倍偶零计算性质、轮换对称性，高斯公式，直接法，转换为对面积的曲面积分计算，多个坐标积分转换为一个坐标积分计算

↘应用：流量

↘高斯公式：应用的条件，积分与曲面无关，散度

17、幂级数

↘收敛域：函数项级数、幂级数收敛域计算的一般思路与方法，阿贝尔定理

↘常见基本函数的幂级数及收敛域：1/(1-x)，sinx，ln(1+x)，(1+x)^a，e^x等

↘和函数的计算：线性运算性质、逐项可导、逐项可积性质，收敛域内和函数连续的性质，端点处和单独讨论；逐项求导构建和函数微分方程求和函数

↘幂级数展开：泰勒级数，基于线性运算性质、逐项可导、逐项可积性质展开函数为幂级数

↘常值级数求和：将常值级数与n次方相关的项转换为变量x构造幂级数，通过求幂级数和求常值级数的和

↘n阶导数的计算：基于幂级数的唯一性，次数相同项系数相同，泰勒级数的系数与间接法得到的幂级数系数相等来得到指定点处的n导数

18、傅里叶级数

↘三角函数系：三角函数系的正交性，直接应用性质得到积分结果

↘傅里叶系数：利用积分计算傅里叶系数，周期函数在任意周期长度区间上的积分相等

↘函数的傅里叶级数展开：注明级数收敛于被展开函数的范围

↘傅里叶级数和函数：基于狄利克雷收敛定理直接写和函数，满足狄利克雷收敛定理的条件的傅里叶级数收敛于被展开函数给定处的左右极限和的一半

↘利用傅里叶级数的和函数求常值级数的和

【特别注意】

对于以上罗列的必须掌握的知识点相关内容的小结、相关的典型题分析、一般解题思路的探索在“历届真题解析”、“高等数学解题思路与典型考题解析”、“高等数学第二学期期末复习与提高”在线课堂都进行了详细讨论；对于应用积分性质、积分实际模型与理论模型变换，积分计算、不等式证明一般性的思路、步骤探索，多元函数积分学中三大公式的交叉应用，曲线、曲面积分的换元法探讨，则可以参考在线课程“专题教学：积分不等式证明和对面积的曲面积分计算”. 点击本文左下角“阅读原文”可以直接访问《公共基础课》在线课堂. 或者公众号直接回复“在线课堂”获得课堂介绍页面与链接访问地址.

最后一周复习建议

把教材中的基本概念，基本定理，基本解题思想与方法再过一遍，对于求极限的方法，级数收敛性判定的方法，幂级数收敛域与和函数的计算，定积分相关的证明题，球坐标计算方法、泰勒公式、中值定理的证明思路，格林公式、高斯公式的应用，重积分、曲线曲面积分的一般计算思路与方法理清一遍，如果有可能，可以把视频解析中的相关的基本解题思路探索方法和知识点、题型总结可以过一遍！大量刷题、猜题、赌题就没有必要了！

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