一次函数知识重点

• 1. 掌握一次函数的定义,能利用定义进行判断.

• 2. 正确画出一次函数的图象,并利用图象说出它的变化特点,能利用图象求函数的近似解.

• 3. 会求一次函数解析式.

• 4. 会用函数思想解决实际问题.

易错提醒

1. 一次函数y=kx+b的图象的位置与k,b的符号之间的关系.

【例1】　(2018·湖南)一次函数y=kx-k(k<0)的图象大致是(　　).

【解析】　首先根据k的取值范围,进而确定-k>0,然后再确定图象所在象限即可.

【答案】　∵　k<0,∴　-k>0.

∴　一次函数y=kx-k的图象经过第一、二、四象限.

故选A.

2. 讨论一次函数性质时漏解.

【例2】　(2019·四川)一次函数y=kx+b,当1≤x≤4时,3≤y≤6,则b/k的值是　　　　.

【解析】　由于k的符号不能确定,故应分k>0和k<0两种进行解答.

3. 一次函数与不等式的关系.

【例3】　(2018·湖北)如图,直线y=-x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为-2,则关于x的不等式-x+m>nx+4n>0的整数解为(　　).

A. -1 B. -5 C. -4 D. -3

【解析】　满足不等式-x+m>nx+4n>0就是直线y=-x+m位于直线y=nx+4n的上方且位于x轴的上方的图象,据此求得自变量的取值范围即可.

【答案】　∵　直线y=-x+m与y=nx+4n(n≠0)的交点的横坐标为-2,

∴　关于x的不等式-x+m>nx+4n>0的解集为-4<x<-2.

∴　关于x的不等式-x+m>nx+4n>0的整数解为-3.故选D.

4. 一次函数的实际应用.

【例4】　(2018山东)目前节能灯在城市已基本普及,今年山东省面向县级及农村地区推广,为响应号召,某商场计划购进甲,乙两种节能灯共1200只,这两种节能灯的进价、售价如下表:

(1)如何进货,进货款恰好为46000元?

(2)如何进货,商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,此时利润为多少元?

【解析】　(1)设商场购进甲型节能灯x只,则购进乙型节能灯(1200-x)只,根据两种节能灯的总价为46000元建立方程求出其解即可;

(2)设商场购进甲型节能灯a只,则购进乙型节能灯(1200-a)只,商场的获利为y元,由销售问题的数量关系建立y与a的解析式就可以求出结论.

【答案】　(1)设商场购进甲型节能灯x只,则购进乙型节能灯(1200-x)只,由题意,得

25x+45(1200-x)=46000,解得x=400.

∴　购进乙型节能灯1200-400=800只.

故购进甲型节能灯400只,购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元.

(2)设商场购进甲型节能灯a只,则购进乙型节能灯(1200-a)只,商场的获利为y元,由题意,得

y=(30-25)a+(60-45)(1200-a),

y=-10a+18000.

∵　商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,

∴　-10a+18000≤[25a+45(1200-a)]×30%.

∴　a≥450.

∵　y=-10a+18000,

∴　k=-10<0.

∴　y随a的增大而减小.

∴　a=450时,y最大=13500元.

∴　商场购进甲型节能灯450只,购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元.

提分策略

1. 一次函数图象的平移.

• 直线y=kx+b(k≠0)在平移过程中k值不变.

• 平移的规律是若上下平移,则直接在常数b后加上或减去平移的单位数;

• 若向左(或向右)平移m个单位,则直线y=kx+b(k≠0)变为y=k(x+m)+b(或k(x-m)+b),

• 其口诀是上加下减,左加右减.

【例1】　如图,一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A(1,-2),则kb=　　　　.

【解析】　∵　y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行,∴　k=2.

∵　y=kx+b的图象经过点A(1,-2),

∴　2+b=-2,解得b=-4.

∴　kb=2×(-4)=-8.

2. 一次函数与一次方程(组),一元一次不等式(组)相结合问题.

【例2】　一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象如图所示.根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为　　　　.

∵　一次函数y=kx+b过点(2,3),(0,1),

2k+b=3 b=1解之得k=1，b=1

∴　一次函数的解析式为y=x+1.

当y=0时,x+1=0,x=-1.

∴　一次函数y=x+1的图象与x轴交于点(-1,0).

∴　关于x的方程kx+b=0的解为x=-1.

3. 一次函数图象与两坐标轴围成的三角形面积问题.

这一类问题主要考查在给定一次函数解析式或一次函数图象的前提下,求图象与坐标轴围成的三角形的面积.

• 在这类问题中,如果三角形的一边与一坐标轴重合,那么可直接应用三角形及坐标求面积,

• 如果三角形的任何一边均不与坐标轴重合,那么一般来说,我们可以利用“割补法”化不规则的三角形为规则的三角形,从而求得三角形的面积.

4. 用一次函数解决相关问题.

(1)利用一次函数进行方案选择.

一次函数的方案决策题,一般都是利用自变量的取值不同,得出不同方案,并根据自变量的取值范围确定出最佳方案.

【例4】　某医药公司把一批药品运往外地,现有两种运输方式可供选择.

方式一:使用快递公司的邮车运输,装卸收费400元,另外每公里再加收4元;

方式二:使用快递公司的火车运输,装卸收费820元,另外每公里再加收2元;

(1)请分别写出邮车、火车运输的总费用y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式;

(2)你认为选用哪种运输方式较好,为什么?

【答案】　

(1)由题意,得y1=4x+400, y2=2x+820.

(2)令4x+400=2x+820,解得x=210,

所以当运输路程小于210 km时,y1<y2,选择邮车运输较好;

当运输路程等于210 km时,y1=y2,选择两种方式一样;

当运输路程大于210 km时,y1>y2,选择火车运输较好.

(2)利用一次函数解决资源收费问题.

此类问题多以分段函数的形式出现,正确理解分段函数是解决问题的关键,

一般应从如下几方面入手:

• (1)寻找分段函数的分段点;

• (2)针对每一段函数关系,求解相应的函数解析式;

• (3)利用条件求未知问题.

(3)利用一次函数解决其他生活实际问题.

结合函数图象及性质,弄清图象上的一些特殊点的实际意义及作用,寻找解决问题的突破口,这是解决一次函数应用题常见的思路.

“图形信息”题是近几年的中考热点考题,解此类问题应做到三个方面:

• (1)看图找点,

• (2)见形想式,

• (3)建模求解.

【例5】周末,小明骑自行车从家里出发到野外郊游.从家出发0.5小时后到达甲地,游玩一段时间后按原速前往乙地.小明离家1小时20分钟后,妈妈驾车沿相同路线前往乙地,如图是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函数图象.已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍.

(1)求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间;

(2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上?此时离家多远?

(3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地,求从家到乙地的路程.

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